Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0 Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< 0< x < y < y ' ( x)x + (x)x = (x) x 0 0 Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
Kui eksisteerib ühepoolne piirväärtus f (x) − f (a) f (x) − f (a) f−′ (a) := lim või f+′ (a) := lim , x→a− x−a x→a+ x−a siis kõneldakse vastavalt vasak- ja parempoolsest tuletisest kohal a. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv, kui ta on diferent- seeruv igas punktis x ∈ D. Funktsiooni f ′ : D → R nimetatakse sel juhul funktsiooni f tuletiseks ehk tuletisfunktsiooniks. Olgu D1 ⊆ D. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv hulgas D1 , kui ahend f |D1 : D1 → R on diferentseeruv. Me kasutame allpool funktsiooni f (või avaldise f (x)) tuletise tähistamiseks tihti ka kirjutusviisi (f (x))′ , näiteks (vt. näide 4.6)) (sin x)′ = cos x iga x ∈ R korral.
annaabi.ee 
