f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null: Täestus. Olgu selles punktis x väitevastaselt f'(x)0. Seega f'(x)>0 või f'(x)<0 ja lausse 3 põhjal on funktsioon f(x) selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või kahanev ning järelikult ei ole sel funktsioonil selles punktis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. Järelikult f'(x)=0 1.16 Keskväärtusteoreemid: Lause 1 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a, b) leidub selline punkt c, et , st . Lause 2 (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid on pidevad lõigul ja diferentseeruvad vahemikus (a, b) kusjuures ning , see tähendab, et Lause 3 (Lagrange'i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub selline punkt Tõestus
Jagatise tuletise valemi tuletamine. funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. Võtame mõlemast poolest tuletise, eeldades, et y on x-i Teoreem: Kui on olemas tuletised u'(x) ja v'(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)/v(x))', mis avaldub kujul funktsioon. Kõrgemat järku leiame analoogselt. (u(x)/v(x))'= u'(x)v(x)-u(x)v'(x)/. Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)/v(x), leiame: 1) y= f(x + 6. Keskväärtusteoreemid. x)=( u(x+x))/v(x+) u(x)/v(x)=( u+u)/v+v u/v =( uv+uv - uv - uv)/v(v+v)=( uv- Rolle'i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a) = f(b), uv)/v(v+v); 2) y/x =((u/x)v u(v/x))/v(v+v); 3)y'= = (u'v uv')/, kus tuletise olemasolu siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f'(c) = 0
y 1 =· y y kui l~opmatult kahaneva suuruse ja t~okestatud suuruse korrutis on teoreemi 4.3 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. M¨ arkus. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse jagatist vaatleme p~ohjaliku- malt alampunktis 1.2.7. 9 1.2.5 Piirv¨ a¨ artusteoreemid Piirv¨aa¨rtusteoreemid v~oib jaotada kahte klassi. Esiteks tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemid ja teiseks nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemid. Alustame tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemidest. Selleks vaatleme piir- protsessis x a kahte muutuvat suurust y = y(x) ja z = z(x). Teoreem 5.1. Kahe muutuva suuruse summa piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste summaga: lim (y + z) = lim y + lim z.
annaabi.ee 
