11). v¨ahima v¨a¨ Olgu M suurim v¨a¨ artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a, b] konstantne, st k~oigi x [a, b] korral kehtib f (x) = M = m. Sellisel juhul on f (x) tuletis nullfunktsioon, st f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨ hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!)
v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul (vt l~oigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a, b] konstantne, st k~oigi x [a, b] korral kehtib f (x) = M = m. Sellisel juhul on f (x) tuletis nullfunktsioon, st f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!)
lokaalne miinimum, kui sellel punktil leidub niisugune u ¨mbrus U (x2 , y2 ), et iga P (x, y) U (x2 , y2 ) on f (x, y) > f (x2 , y2 ). N¨aide 1. Definitsioon 2 j¨argi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y 2 punktis P0 (0; 0) lokaalne miinimum, sest f (0; 0) = 0 ja mis tahes punktist P0 erineva punkti P (x, y) korral f (x, y) = x2 + y 2 > 0. N¨aide 2. Funktsioonil z = x2 - y 2 ei ole punktis P0 (0; 0) lokaalset ekst- reemumi, sest f (0; 0) = 0, aga igasugune U (0; 0) sisaldab nii x- kui ka y-telje 28 punkte ning x-telje punktides y = 0 ja z = x2 > 0, y-telje punktides x = 0 ja z = -y 2 < 0. Kui kahe muutuja funktsioonil on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstree- mum, siis on lokaalne ekstreemum ka kahe muutuja funktisooni graafikuks oleva pinna tasandil~oikel tasandiga y = y0 , st u ¨he muutuja funktsioonil z
annaabi.ee 
