Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a < x < b} D = {a, b} D hulk D on lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine
teatavatest baasi B kuuluvatest hulkadest. See on aga v˜orduse (3.2) t˜ottu v˜oimatu. J¨arelikult X cl(A) = ∅, X = cl(A) ja X on separaabel. 3.3 Hulga raja Definitsioon 3.7 Topoloogilise ruumi X alamhulga A ra- japunktiks nimetatakse sellist punkti ruumist X, mille igas u ¨mbruses leidub nii hulga A punkte kui ka hulka A mitte- kuuluvaid punkte. Hulga A k˜oigi rajapunktide hulka t¨ahistatakse ∂A. N¨aide 3.6 L˜oigu [a; b] ⊂ R rajapunktideks on parajasti a ja b. N¨ aide 3.7 Topoloogilise ruumi X rajapunktide hulk on t¨ uhi. Teoreem 3.15 ∂A = cl(A) int(A). T˜oestus. Olgu A topoloogilise ruumi X suvaline alamhulk. Kui x ∈ cl(A) int(A), siis x ∈ cl(A) ja x ∈ int(A) ning sulundi ja sisemuse definitsiooni kohaselt punkti x iga u ¨mbrus sisaldab nii hulga A punkte kui ka hulka A mittekuuluvaid punkte, st x on hulga A rajapunkt ja x ∈ ∂A. J¨arelikult
j¨arjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, y)-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame t¨ahistama s¨ umboliga D. N¨aiteks piirkond D = {(x, y)| x2 + y 2 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega. Joonis 6.1. Kinnine ja lahtine ring
annaabi.ee 
