0,2 65 66 65 65,33 45,6543 0,4 82 81 81 81,33 36,6732 2) Koostsin pindepinevuse isotermi =f(c), millele tõmbasin neljal kontsentratsioonil puutujad. Iga puutuja abil tegin kindlaks ordinaattelje lõigu pikkusega Z, kusjuures , Z avaldasin pindpinevuse ühikutes. Joonis . Pindpinevuse isoterm koos valitud kontsentratsioonidel tõmmatud puutujatega (Graafikul on musta paksu joonega pindpinevuse isoterm, värviliste joontega on tõmmatud puutujad kontsentratsioonidel 0,08; 0,1; 0,16; 0,2 ja 0,3) Valitud kontsentratsioonidel leitud Z väärtused asendasin Gibbsi adsorptsiooniisotermi võrrandisse ja määrasin . Saadud pindliia väärtused kandsin tabelisse ja joonistasin adsorptsiooniisotermi =f(c). Temperatuur: T=293,15 K (t=20C)
Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni
F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P.
lokaalse miinimumiga. 1. 23. Joone kumerus ja nõgusus. Def.1. funktsiooni y=f(x) graafik on kumer punktis a(täpsemini pu nktis (a,f(a))), kui lelline - ümbrus, et funktsiooni f(x) graafik argumendi x väärtustel ümbrusest (a-, a+) allpool(mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a,f(a)) funktsiooni graafikule. Def.2. F-ni graafik on nõgus punktis a kui selle punkti (a,f(a)) joonele tõmmatud puutuja on allpool f-ni graafikut. [tee joonised puutujatega] Def.3. Öeldakse, et punkt a on funktsiooni f(x) graafiku käänupukt, kui leidub selline >0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a-,a) ja nõgus hulgal (a,a+) või vastupidi. L1. Kui f''(x) on pidev punktis a, siis f''(x)<0(f''(x)>0) tähendab et f-ni f(a) on kumer(nõgus) punktis a. Tõestus. Kirjutame punktis a funktsiooni y=f(x) jaoks välja esimest järku Taylori valemi: Võrreldes seda seost funktsiooni y=f(x) graafikule punktis (a,f(a)) tõmmatud puutuja
puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p(puutuja). Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal: Järeldub puutuja võrrand: Valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x=a. c. Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y=f(x) puutujatega selles punktis. d. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) JOONIS Joonisel on kujutatud joone y=f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p=tan. Kuna =a+ ja tan=f'(a), siis Eelneva valemi ning valemi y-b=p(x-a) põhjal on punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: e. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu JOONIS
dt u v w x y z u u u ? Et grad u = , , ja r? = { x?, y?, z?} x y z Siis me saime tulemuseks, et ? ? grad u r? = 0 grad u r? Järelikult on gradient risti joone L puutujaga punktis P( x 0 , y 0 , z 0 ) . Et joon L oli suvaline joon nivoopinnal, mis läbis punkti P, siis on gradient risti kõigi selliste joonte puutujatega. Järelikult on gradient risti ka puutujatasandiga ning nivoopinnaga. M.O.T.T. Nüüd saame kirjutada pinna puutujatasandi ning normaali võrrandid. Olgu pind esitatud ilmutamata funktsiooni kujul F ( x, y , z ) = 0 Teoreemi 12.1 kohaselt võima puutetasandi normaalvektoriks võtta F F F n = grad F = , , x P y P z P Seega puutetasandi võrrand on F F F
annaabi.ee 
