18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus,
vastupidiseks (I liiki pindintegraalil jäi samaks) ARVUTAMINE 1)Kui pind Ω on antud parameetriliste võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), (u,v)ЄΔ, siis ʃʃΩfdxdy=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Cdudv ʃʃΩfdxdz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Bdudv ʃʃΩfdydz=±ʃʃΔf[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]Adudv, kus A, B, C on antud valemitega. 2)Kui pind Ω on antud ilmutatud kujul võrrandiga z=z(x,y), xЄD, siis ʃʃΩfdxdy=±ʃʃDf[x, y, z(x,y)] 18. Greeni, Gauss-Ostrogradski ja Stokesi valemid, näiteid Stokesi valem võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil. Olgu pind Ω ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fy,fz,gx,gz,qx ja qy on pidevad pinnal Ω, siis kehtib Stokesi valem: ʃLfdx+gdy+qdz = ʃʃ(qy- gz)dydz + (fz-qx)dzdx + (gx-fy)dxdy, kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna Ω külje suhtes, mida mööda integreeritakse.
D L integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25.Pindintegraalid(Ostrogradski ja Stokes’i valem- mis seosed need valemid annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali Ostrogadski valemiga saab üle minna Kolmekordselt integraalilt pindintegraalile Stokes’i valemiga saab üle minna pindintegraalilt joonintegraalile Esimest liiki pindintegraali saab arvutada valemiga ❑ ∬ f (x , y , g ( x , y ) )√ z 2x + z 2y + 1dA D 26
B n cos , cos , cos , cos A2 B2 C2 C cos A2 B2 C2 on integreerimiseks valitud pinna külje normaal. 3.2.3 Gauss-Ostrogradski valem See valem võimaldab II liiki pindintegraali arvutada kolmekordse integraali abil. Teoreem 14. Olgu ruumiline piirkond V kinnine ja tema rajapind sile. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised f x , g y ja q z on pidevad piirkonnas V, siis kehtib Gauss-Ostrogradski valem fdydz gdxdz qdxdy fx gy q z dxdydz, V
Üldine teist liiki pindintegraal Def. Funktsioonide P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) ja R = R( x, y, z ) (x, y, z ) E üldiseks teist liiki pindintegraaliks nimetatakse teist liiki pindintegraalide summat Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . NB! Pinna positiivse (negatiivse) poole määrame projekteerimisel igale koordinaattasandile eraldi. 2.4. Gaussi-Ostrogradski valem Def. Funktsiooni f nimetatakse tükiti siledaks lõigus [a, b] , kui funktsioonil f ja tema tuletisfunktsioonil f on selles lõigus ülimalt lõplik arv katkevuspunkte, mis kõik on esimest liiki katkevuspunktid (neis punktides leiduvad lõplikud ühepoolsed piirväärtused). Teoreem (Gaussi-Ostrogradski valem). Kui funktsioonid P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) , Px , Q y , R z on pidevad
annaabi.ee 
