Esitada vastav valem ilma tuletamiseta ka kolmemõõtmelisel juhul. Liikugu materiaalne punkt P xy- tasandil mööda joont punktist M punkti N. Sõltugu punktile P mõjuv jõud F punkti P asukohast . st. F(P)=(F 1(P), F2(P)). Jaotame joone L n osakaareks punktidega M0,M1,M2,...Mn=N suunaga punkti M poolt punkti N poole. Tähistame x i =xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 . Olgu osakaarel Mi-1Mi tehtav töö Ai. Kogu joonel tehtav töö avaldub osakaartel tehtud tööde summaga A= A. Valime punkti pi kaarelt M i-1Mi. Kui di=Mi-1Mi on väike siis on jõud kaarel ligikaudu konstantne ja võrdne jõuga punktis P i. Valemi A=F*MN põhjal saame Ai=F(Pi)*Mi-1Mi. Valemis esinevad vektorid saab esitada koordinaatide kaudu järgmiselt : F(Pi)=(F1(Pi),F2(Pi)) ja Mi-1Mi=(xi,yi). Siit A =F1(Pi) xi+F2(P2) yi. Sumeerides seda A=(F1(Pi) xi+F2(Pi) yi).Valemi paremal poolel on F1 ja F2 integraalsumma koordinaatide järgi
Saame vastavad arvud x k (xk= xk-xk-1). Antud arvud saavad olla positiivsed, negatiivsed või võrdsed nulliga. 3. Arvutatud funktsiooni väärtuse korrutame vastava vektori projektsiooniga x-teljele. Saame : 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame (30.1.) Kui eksisteerib piirväärtus (30.1.) ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide valikust osakaartel , siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y,z) teist liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare projektsioonide järgi x-teljele ja tähistatakse Analoogiliselt võime defineerida teist liiki joonintegraalid projektsioonide järgi y-teljele ja z-teljele: Olgu joonisel AB määratud kolm funktsiooni P(x,y,z), Q(x,y,z) ja R(x,y,z). Üldiseks teist järku joonintegraaliks nim. järgmist joonintegraalide summat:
. . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn on su- valine. Seega on osakaarte Pk-1 Pk pikkused sk erinevad. T¨ahistame pikima osakaare pikkust = max sk 1kn 1 Definitsioon. Kui eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim sn 0 ja see ei s~oltu joone AB osakaarteks jaotamise viisit ega punktide Qk valikust osakaartel, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f (x, y) esimest lii- ki joonintegraaliks u ¨le joone AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse j¨argi ja t¨ahistatakse f (x, y)ds AB Vahetult definitsioonist j¨arelduvad esimest liiki joonintegraali omadused. Omadus 1. Esimest liiki joonintegraal ei s~oltu joone l¨abimise suunast, st f (x, y)ds = f (x, y)ds
annaabi.ee 
