Kui f I(), kus ={(x,y,z)R3 | (a x b) (1(x) y 2(x)) (1 (x, y) z 2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0, +lõpmatus) [0, 2). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0 , +lõpmatus), [0,2) [0, ]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas.
˄ (ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas.
Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem. 1dS := SD Kui eksisteerib piirväärtus lim(max sj 0) (j=0, n) X(Qj) xj + Y(Qj) yj + Z(Qj) zj, mis ei sõltu joone osakaarteks Kui f(P) >= 0 iga P c D korral ja f c C(D) ning := {(x,y,z) c R3 | ((x,y) c D), (0 <= z <= f(x,y))}, siis piirkonna ruumalaks V jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-1Pj(j=1,...,n), siis nimetatakse seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk nimetatakse suurust V := f(P)dS. joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse X(P)dx + Y(P)dy + Z(P)dz. Kui f,g c I(D) ja c c R, siis cf(P)dS = cf(P)dS, f(P) + g(P)dS = f(P)dS + g(P)dS
jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki nimetatakse kahe muutja funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kokkuvõttes võime sõnastada teoreemi.Teoreem ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal Esimest liiki joonintegraal Definitsioon Kui eksisteerib piirva¨ artus ¨ n lim f (Qj )sj , max sj 0 j=0 ~ joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust mis ei soltu osakaares Pj-1 Pj (j = 1,. . . , n), siis nimetatakse seda piirva¨ artust ¨ esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaarepikkuse jargi ¨ funktsioonist f mo¨ oda ¨ ¨ joont ja tahistatakse f (x, y , z)ds ¨ G
annaabi.ee 
