1: Sf¨a¨ar S1 N¨ aide 5.6 Vaatleme kahem˜o˜otmelist sf¨a¨ari S2 = { (x1 ; x2 ; x3 ) | x21 + x22 + x23 = 1 } alamruumina ruumis R3 . T¨ahistame p = (0; 0; 1) ∈ S2 . Ka X = S2 {p} on alamruum ruumis R3 . Ruumi X punkti x ¨mbruste baasi moodustavad lahtiste kerade B(x; r) = { y ∈ u R3 | d(y, x) < r } u ¨hisosad hulgaga X. Pannes ruumi X punk- tile x = (x1 ; x2 ; x3 ) vastavusse ruumis R3 punkte p ja x l¨abiva sirge ja x1 x2 -tasandi l˜oikepunkti g(x), mida vaatleme punk- tina ruumist R2 , saame hom¨oomorfismi g : S2 {p} −→ R2 . Hom¨oomorfismi g nimetatakse stereograafiliseks projekt- siooniks ja x1 x2 g(x1 ; x2 ; x3 ) = ( ; ). 1 − x3 1 − x3 5.4 Faktorruum Vaatleme topoloogilist ruumi (X, T ). Olgu hulgal X antud ekvivalentsiseos σ. Siis tekib faktorhulk X/σ, mille elemen-
siis see sirge peab antud joont kuskil l~oikama. N¨aiteks vaatleme joonisel 2.13 toodud pidevat joont. Selle joone k~orgeima punkti koordinaadid on (x1 , M ) ja madalaima punkti koordinaadid on (a, m). T~ombame nende kahe punkti vahele suvalise horisontaalsirge. Asugu see sirge x-telje suhtes k~orgusel h. Jooniselt n¨aeme, et see sirge l~oikab vaadeldavat joont u ¨hes punktis (kui valiksime h suurema, l~oikaks koguni mitmes punktis). Olgu l~ oikepunkti x-koordinaat c. Kuna l~oikepunkt asub funktsiooni f graafikul, siis kehtib v~ordus f (c) = h. See t¨ahendabki, et funktsioon f saavutab (suvaliselt valitud) v¨a¨artuse h oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. yy M · b2 · h b1 m · G
siis see sirge peab antud joont kuskil l~oikama. N¨aiteks vaatleme joonisel 2.13 toodud pidevat joont. Selle joone k~orgeima punkti koordinaadid on (x1 , M ) ja madalaima punkti koordinaadid on (a, m). T~ombame nende kahe punkti vahele suvalise horisontaalsirge. Asugu see sirge x-telje suhtes k~orgusel h. Jooniselt n¨aeme, et see sirge l~oikab vaadeldavat joont u ¨hes punktis (kui valiksime h suurema, l~oikaks koguni mitmes punktis). Olgu l~oikepunkti x-koordinaat c. Kuna l~oikepunkt asub funktsiooni f graafikul, siis kehtib v~ordus f (c) = h. See t¨ahendabki, et funktsioon f saavutab (suvaliselt valitud) v¨a¨artuse h oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. yy M · b2 · h b1 m ·
annaabi.ee 
