puutuja t~ous v¨aheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga . Selles seose põhjendus. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui f''(x) > 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a,b). 2. Kui f''(x) < 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a,b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨a¨anupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon.
Teoreem 4.5. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad j¨ argmised v¨ aited: 1. Kui f (x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f (x) n~ ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f (x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f (x) kumer vahemikus (a, b). Joone k¨a¨ anupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨ a¨anupunktiks. 93 N¨aiteks joonise 4.2 graafikutel 5 - 8 on k¨a¨anupunktid. T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0
Teoreem 4.5. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad j¨ argmised v¨ aited: 1. Kui f (x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f (x) n~ ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f (x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f (x) kumer vahemikus (a, b). Joone k¨a¨ anupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨ a¨anupunktiks. 93 N¨aiteks joonise 4.2 graafikutel 5 - 8 on k¨a¨anupunktid. T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0
annaabi.ee 
