1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm
Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokost annab meile kõik mahtude paarid (x, y), mille korral kulu on ühesugune. Kui lugeda Q konstantseks C (nivoojoone mõiste), siis saame võrrandi, mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C
17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt
f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim x 0 x
3) = = x( t 0 ) y ( t0 ) z(t 0 ) Puutuja võrrandid. Parameetrilisel kujul x = x 0 + x( t 0 ) t y = y 0 + y( t 0 ) t (11.3') z = z + z(t ) t 0 0 12. Teoreem gradiendist ja nivoojoonest (nivoopinnast). Kõverpinna puutujatasand ja normaal. Teoreem 12.1. Funktsiooni gradient on risti vaadeldavat punkti läbiva nivoojoonega või nivoopinnaga. Tõestus. 1) Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle nivoojoont f ( x, y ) = c Leiame nivoojoone puutuja võrrandi punktis P( x0 , y 0 ) . y - y 0 = y P ( x - x0 ) Leiame tuletise kui ilmutamata funktsiooni tuletise. Saame f y = - x f y Seega antud puutuja võrrand on f x P y - y0 = - ( x - x0 ) f y P Teisendades saame f ( x - x0 ) + f ( y - y 0 ) = 0 x P y P ?
gradientide väljaks. Teoreem 13.1. Funktsiooni z=f(x,y) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vekroti s suunale. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et koosinusfunktsioon saavutab oma maksimaalse väärtuse 1, kui =0. Järeldus 3. Funktsiooni tuletis nivoojoone puutuja suunas võrdub nulliga. 15. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemum, kriitilised punktid, statsionaarsed punktid (definitsioonid). Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis M0(x0,y0) maksimum, kui f(x0,y0)>f(x,y) kõigi punktile (x0;y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x;y) puhul. Funktsiooni maksimum ja miinimumi nim
! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus 3) lahend puudub. kitsendused vastuoluline 7
Leiame grad z = (2x, 2y) = (2; 2) P ja selle pikkuse | grad z| = 2 2. Tulemus u ¨htib eelmise punkti n¨aites 1 leitud tuletisega vektori - s1 suunas, - mis on loomulik, sest vektor s1 = (1; 1) on gradiendi suunaline. Teoreem 2. Gradient on risti nivoojoone puutujaga. T~oestus. Kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) graafiku nivoojoone pro- jektsioon xy-tasandil on f (x, y) = c. Nivoojoone puutuja suunaline vektor f 1 on - s = 1; - x = (fy , -fx ) ja gradiendi ning puutuja suunalise vek- fy fy tori skalaarkorrutis grad z · - s = fx fy - fy fx = 0, st gradient on nivoojoone puutujaga risti. J¨areldusest 1 saame n¨ uu ¨d.
annaabi.ee 
