k =1 i - k ) k i Näidisülesanne N 4.1 Antud: süsteemne maatriks A 0 - 5 4 A = 2 - 5 2 1 1 - 3 At Leida maatrikseksponent e Lahenduskäik 1. Laplace'i teisenduse meetodiga: 0 - 5 4 s s -4 A = 2 - 5 2 ( sE - A) = - 2 s + 5 - 2 1 1 - 3 - 1 - 1 s + 3 det(sE A) = ... = (s + 3)(s + 1)(s + 4) 18 1 ( sE - A) -1 =
2) sisaldab süsteemi üheselt määrava maatriksfunktsiooni (t,to). 2. Statsionaarse süsteemi homogeense võrrandi lahendamine. Statsionaarse süsteemi põhitunnuseks on kõigi tema parameetrite konstantsus ajas. Seetõttu võime säärase süsteemi analüüsil mistahes ajahetke võtta ajaskaala nullhetkeks. Tulemusena (t) osutub ühe ajamuutuja funktsiooniks, kuid rahuldab siiski eelmisi tingimusi. (d/dt)(t)=A(t); (t1+t2)=(t1)(t2); (O)=E; -1(t)=(-t). Osutub, et kõiki neid tingimusi rahuldab maatrikseksponent eAt, mida saab esitada tavalisele eksponentfunktsioonile analoogilise maatriks-astmereana, mis koondub mistahes reaalarvulise t korral. U(t)=0, x(t)=eAtX(0), ajaliste protsesside iseloomu määravad eksponentfunktsiooni omadused. 3.Tervikliku olekuvõrrandi lahendamine. Lihtsaim tee lahendi leidmiseks kasutab Laplace 'i teisendust. X(s)=(sE-A)-1X(0) + (sE-A)-1BU(s). Tingimusel U(s)=0, võime leida maatrikseksponendi Laplace'i kujul e eAt (sE- A)-1
süsteemi üheselt määrava maatriksfunktsiooni F(t,t0). Statsionaarse süsteemi homogeense võrrandi lahendamine. Statsionaarse süsteemi põhitunnuseks on kõigi tema parameetrite konstantsus ajas. Seetõttu võime säärase süsteemi analüüsil mistahes ajahetke võtta ajaskaala nullhetkeks. Tulemusena F(t) osutub ühe ajamuutuja funktsiooniks, kuid rahuldab siiski eelmisi tingimusi. (d/dt)F(t)=A(t) F(t1+t2)=F(t1)F(t2) F(0)=E F-1(t)=F(-t). Osutub, et kõiki neid tingimusi rahuldab maatrikseksponent eAt, mida saab esitada tavalisele eksponentfunktsioonile analoogilise maatriks-astmereana, mis koondub mistahes reaalarvulise t korral. U(t)=0, x(t)=eAtX(0), ajaliste protsesside iseloomu määravad eksponentfunktsiooni omadused. Tervikliku olekuvõrrandi lahendamine. Lihtsaim tee lahendi leidmiseks on Laplace 'i teisendus X(s)=(sE-A)-1X(0) + (sE-A)-1BU(s). Tingimusel U(s)=0, võime leida maatrikseksponendi Laplace'i kujul ehk eAt <-> (sE-A)-1
annaabi.ee 
