tõkestamata, siis ütleme, et hulga X alumine raja on - . Hulga X ülemist raja märgitakse sümboliga sup X ja alumist raja sümboliga inf X . Juhul X = {x} kasutatakse ka lihtsustatud sümboleid sup x ja inf x . Pidevuse aksioom Teoreem: Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise.
1) hulga D ⊆ R sisepunkt (interior point, внутренная точка) (kirjutame a ∈ D o ), kui leidub selline ρ > 0, et (a − ρ, a + ρ) ⊆ D, 2) hulga D ⊆ R isoleeritud punkt, kui a ∈ D ja (a − σ, a + σ) ∩ D = {a} mingi σ > 0 korral, 3) hulga D ⊆ R kuhjumispunkt (limit point, предельная точка), kui iga ρ > 0 korral sisaldab punkti a ümbrus (a − ρ, a + ρ) lõpmata palju hulga D punkte. Paneme tähele, et • hulga kõik sisepunktid on tema kuhjumispunktid (selgitage!)z, kuid vastupidine väide on väär (tooge näide!)z, • isoleeritud punkt ei saa olla kuhjumispunkt (selgitage!)z, • arv a on hulga D kuhjumispunkt parajasti siis, kui punkti a iga ümbrus (a − ρ, a + ρ) sisaldab vähemalt ühe a-st erineva hulga D punkti (tõestage!)z, • arv a on hulga D kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline jada (xn ), et xn ∈ D {a} ning xn → a (tõestage!)z. Näide 3.1
|xn - a| = |xn - xnk + xnk - a| |xnk - xn | + |xnk - a| < + = 2 2 ¨ jarelikult limk G. Tamberg ¨ (TTU) xn = a. YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 22 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Kuhjumispunktid Definitsioon Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas umbruses ¨ on ~ lopmata palju vaadeldava jada liikmeid. Lause Arv a on jada {xn } kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {xnk }, mis koondub arvuks a. Lause Jada {xn } koondub parajasti siis, kui ta on tokestatud ~ ja tal on vaid uks
annaabi.ee 
