seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal: d(uv) = duv + udv vahetame integraali kujunduse huvides tegurite du ja v omavahelise järjekorra ja saame: d(uv) = v du + udv Nüüd avaldame siis nende integraalid, ja seega, nagu taibata võib, ka korrutise uv, sest integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on selle funktsiooni enda ja mingi suvalise kontsandi summa: d(uv) = uv +C , seega, selguse mõttes jättes välja konstandi C märkimise (mida saab niikuinii teha alles lõpliku integraali leidmisel), saame avaldise d(uv) = duv + udv mõlemaid pooli integreerides huvitava võrduse: d(uv) = vdu + u dv ja asendades d(uv) ära: uv = vdu + u dv ja siit meie jaoks seda avaldist veel mugavamaks tehes: u dv = uv - vdu
, siis eksisteerib kindlasti ka määramata integraal . Tõestus: Olgu u(x) ja v(x) differentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna . Eeldades, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal. Et siis eksisteerib ka ja saamegi tulemuseks: , kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise kontsandi summa on suvaline konstat. Kuna ja siis ongi antud seos esitatav kujul . 4. Muutujate vahetus määramata integraalis. Valemi tuletamine. *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv, siis kehtib muutujate vahetuse valem
8). (Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon). kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku [-1 , ], () = =1 ( ) = kontsandi summa on suvaline konstant. Kuna = ja = , siis ongi antud Riemanni summa lõigul [a,b] n (f) = =1 ( ) . -1 -1 seos esitatav kujul = - .
a a a b b kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise kontsandi summa on suvaline konstat. Kuna dv=v ' dx ja du=u dx , ' siis ongi antud seos esitatav kujul ∫ g ( x ) dx =0 ,siis on võrdus ilmne. Kui ∫ g ( x ) dx ≠ 0
annaabi.ee 
