vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult:
vad 0-ga, paaritut j¨arku tuletised f (2n+1) (0) = 1, kui n on paarisarv ja f (2n+1) (0) = -1, kui n on paaritu. 12 Seega funktsiooni sin x arend Maclaurini valemi (3.11) abil on x x3 x5 x2n+1 sin x = - + - . . . + (-1)n + R2n+1 (x) 1! 3! 5! (2n + 1)! mille j¨aa¨kliige on (3.12) p~ohjal x2n+2 x2n+2 R2n+1 (x) = sin x + (2n + 2) = sin (x + (n + 1)) , (2n + 2)! 2 (2n + 2)! kus 0 < < 1. Ka siin on v~oimalik n¨aidata, et iga fikseeritud x R korral on lim R2n+1 (x) = 0, n st funktsiooni sin x v¨a¨artust on v~oimalik Maclaurini valemi abil arvutada kui
x-st. Kui n = 1, siis on valem (3.45) j¨ argmine: f (c) f (x) = f (a) + f (a)(x - a) + (x - a)2 , 2! kus c on mingi arv x ja a vahel. V~orreldes seda valemit avaldisega (3.18) n¨ aeme, et Taylori pol¨ unoomi j¨ aa¨kliige langeb n = 1 korral kokku diferentsiaali j¨ a¨akliikmega . N¨aide. Hindame funktsiooni f (x) = ex Taylori pol¨ unoomi viga. Eespool me juba tuletasime selle funktsiooni Taylori (McLaurini) pol¨ unoomi a = 0 korral. Arvestades, et f (n+1) (x) = ex , paneme kirja ka vastava Taylori valemi: x2 x3 xn ec xn+1 ex = 1 + x + + + ..
annaabi.ee 
