2.12. Määratud integraal
Olgu lõigul [a, b] määratud funktsioon f(x). Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
Niisugustel juhtudel on määratud integraali arvutamine arukas teha ligikaudselt. Kuna määratud integraal on integraalsumma piirväärtus, ehk võrdub ligikaudselt integraalsummaga: b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ f ( ξ k ) ∆ x k a k=1 Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetatakse kvardratuurvalemiteks. Lihtsamaid kvadratuurvalemeid saab tuletada otseselt integraalsummast. Keskmine ristkülikvalem b−a Jaotame integreerimislõigu [ a ; b ] n võrdse pikkusega ∆ x= osaks. Tähistame vahemikke n järgnevalt: [ x 0 ; x 1 ] , [ x 1 ; x 2 ] ,... , [ xn −1 ; x n ] , kus x 0=a ja x n=b .
NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraalide olemasolu. Tõestus (soovituslik). Olgu A = ( x( ), y ( )) , B = ( x( ), y ( )) (ei pea olema ). Pi = ( x(t i ), y (t i )) t i AB Rakendame funktsioonile x = x(t ) lõikudel Pi -1 Pi Lagrange'i keskväärtusteoreemi, millest saame, et leiduvad punktid i Pi -1 Pi i 1,..., n nii, et xi = xi - xi -1 = x ( i )(t i - t i -1 ) = x ( i )t i . Valime integraali f (x, y )dx integraalsummast punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) . Siis AB n n f ( x, y )dx = lim f (Qi )xi = lim f ( x( i ), y ( i ))x ( i )t i = f ( x(t ), y (t ))x (t )dt max xi 0 max t i 0 AB i =1 i =1
BA, v~oime jaotuspunktid nende suvalisuse t~ottu v~otta samad, mis v~oetak- ---- se joone l¨abimisel suunas AB. Siis vektorite Pk-1 Pk asemel on vektorid 7 ---- Pk Pk-1 = (-xk ; -yk ) ja k-ndal osal~oigul suvaliselt fikseeritud punktis Qk (k ; k ) on j~ouvektor - Fk = (X(k , k ); Y (k , k )) V~ottes integraalsummast n n [X(k , k )(-xk )+Y (k , k )(-yk )] = - [X(k , k )xk +Y (k , k )yk ] k=1 k=1 piirv¨aa¨rtuse piirprotsessis max sk 0, saame v¨aite. 7.4 Teist liiki joonintegraali arvutamine Olgu, et AB on tasandiline sile joon parameetriliste v~orranditega x = x(t), y = y(t)
annaabi.ee 
