.., vn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende ruumalasid. Võtame igas osapiirkonnas vi mingi punkti Pi, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y,z) väärtusi valitud piirkonnas sümbolitega f(P1),..., f(Pn) ja moodustame integraalsumma (23.1.) Suurendame osapiirkondade vi arvu piiramatult nii, et vi suurim läbimõõt läheneks nullile. Kui seejuures funktsioon z=f(x,y,z) on pidev, siis integraalsummadel, mille kuju on (23.1.), on olemas piirväärtus, kusjuures integraalsumma piirväärtusel on seesama mõte, mis kahekordse integraali definitsiooni puhul. Piirväärtst mis ei sõltu piirkonna V jaotamisviisist ega punktide Pi valikust, nim. funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V ja tähistatakse sümboliga ehk 6
m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i Lemma 8.2 Mistahes ülemise ja alumise integraalsumma jaoks kehtib võrratus (29.5) S n S m , kus S n ja S m on moodustatud suvalise jaotuse järgi. Tõestus: Olgu S n moodustatud jaotusega J 1 ja S m jaotusega J 2 Me saame moodustada jaotuse J 3 , mis sisaldab kõiki punkte nii jaotusest J 1 ja J 2 Vastavalt lemmale 8.1 saame S n S k S n S m Lemma 8.3 Ülemistel ja alumistel integraalsummadel on piirväärtus, kui n ja max x i 0, ning need piirväärtused on võrdsed. (29.6) lim S n = lim S n = S n n Tõestus: Alumised integraalsummad {S n } moodustavad mittekahaneva jada, mis on tõkestatud ülevalt konstandiga M (b - a) Sellest järeldub, et eksisteerib piirväärtus lim S n Analoogselt eksisteerib lim S n n n Vaatleme suhet
m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i Lemma 8.2 Mistahes ülemise ja alumise integraalsumma jaoks kehtib võrratus (29.5) S n S m , kus S n ja S m on moodustatud suvalise jaotuse järgi. Tõestus: Olgu S n moodustatud jaotusega J 1 ja S m jaotusega J 2 Me saame moodustada jaotuse J 3 , mis sisaldab kõiki punkte nii jaotusest J 1 ja J 2 Vastavalt lemmale 8.1 saame S n S k S n S m Lemma 8.3 Ülemistel ja alumistel integraalsummadel on piirväärtus, kui n ja max x i 0, ning need piirväärtused on võrdsed. (29.6) lim S n = lim S n = S n n Tõestus: Alumised integraalsummad {S n } moodustavad mittekahaneva jada, mis on tõkestatud ülevalt konstandiga M (b - a) Sellest järeldub, et eksisteerib piirväärtus lim S n Analoogselt eksisteerib lim S n n n Vaatleme suhet
annaabi.ee 
