Seoste peale mõeldes ütleme, et kahte funktsiooni loetakse võrdseteks, kui nad on võrdsed kui seosed (s.t. kui paaride hulgad). Injektiivsed, sürjektiivsed ja bijektiivsed funktsioonid Funktsiooni : nimetatakse - injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate argumendi väärtuste korral on funktsiooni väärtused erinevad: 12 (1)(2); - sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga jaoks leidub selline , et () = ; - bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne. Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga elemendil pole rohkem kui üks originaal. Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga elemendil leidub vähemalt üks originaal. Bijektiivsus tähendab, et igal hulga elemendil leidub täpselt üks originaal. Bijektsioon kui üksühene vastavus Hulgateooria seisukohalt on funktsioonid : paaride hulgad ={(,) | =()}. Bijektiivne funktsioon : on siis selline paaride hulk, kus 1. iga jaoks leidub parajasti üks paar, milles on esimene komponent, 2
f -1 (f ( A))=f -1( A)={-3,-2,-1,1, 2, 3}{1,2, 3 }= A . -1 · Üldiselt f (f (B)) B Näide: Olgu X =Y =¿ , f (x)=x 2 ja B={-1, 0, 4 } . Funktsiooniga f kujutuvad -1 hulka B hulga f (B)={-2, 0, 2} elemendid, mida funktsiooniga f kujutades saame f (f -1 ( B))=f ({-2,0, 2 })={0, 4 } {-1, 0, 4 }=B . 9. LOENG Funktsiooni injektiivsus ja sürjektiivsus. Liit- ja pöördfunktsioon. Definitsioon Olgu X ja Yhulgad. Funktsiooni f : X Y nimetatakse injektiivseks ehk x1 , x2 X , x1 x2 üksüheseks, kui iga paari , korral f ( x1 ) f ( x 2) . Märkused. · Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga Yelemendil pole rohkem kui üks originaal. x1 , x2 X
4. f -1(A∪B) = f -1(A) ∪ f -1(B) 5. f -1(A∩B) = f -1(A) ∩ f -1(B) 6. f -1(B’) = (f -1(B))’ st f -1(YB) = X f -1(B) 20. Injektiivne funktsioon. Sürjektiivne funktsioon. Bijektiivne funktsioon. Pöördfunktsiooni mõiste. [3, 4,5] Injektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate argumendi väärtuste korral on funktsiooni väärtused erinevad: x1!=x2 ⇒f(x1)!= f(x2). o Injektiivsus tähendab, et ühelgi hulga Y elemendil pole rohkem, kui üks originaal. Sürjektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga y∈Y jaoks leidub selline x∈X, et f(x) = y o Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub vähemalt üks originaal Bijektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne.
15) kus Cx := {r ∈ Q1 : r < x} (x ∈ F1 ) ja supreemum on võetud korpuses F2 . Vahetu kontroll näitab, et kujutus ψ on korrektselt defineeritud, seejuures ψ(x) = ϕ(x) iga x ∈ Q1 korral. Kujutus ψ säilitab järjestuse, s.t. x < y ⇒ ψ(x) < ψ(y). Sellest implikatsioonist tuleneb vahetult ka kujutuse ψ injektiivsus. Kuna suvalise y ∈ F2 korral kehtib ψ(x) = y, kus x := sup{ϕ−1 (p) : p ∈ Cy } ja Cy := {p ∈ Q2 : p < y}, siis ψ on sürjektiivne. Tõestame, et ψ(x + x′ ) = ψ(x) + ψ(x′ ). Olgu q ∈ Cx+x′ , tähistame ε := x + x′ − q, seega ε > 0. Leiame sellised r ∈ Cx ja s ∈ Cx′ , et ε ε x− < r, x′ − < s,
annaabi.ee 
