kus k ∈Z φ+2 kπ φ+2 kπ Kui z=ρ ( cosφ+isinφ ) , siis √n z=√n p cos( +isin n n ) , k ∈ {0, 1, 2,… ,n−1 } KOMPLEKSARVU EKSPONENTKUJU Asendades ex Maclaureni reas oleva muutuja x imaginaararvuga iφ , saab kompleksarvude summa: 1 1 1 1 1 e iφ=1+ iφ+ (iφ)2 + (iφ )3+ (iφ)4 + (iφ)5 +… 1! 2! 3! 4! 5! Teisendades parem pool oleva kompleksarvu algebralisele kujule: 1 2 1 4 1 1 e iφ=(1− φ + φ −…)+i(φ− φ 3+ φ5−…) Euleri valem e iφ=cosφ +isinφ 2! 4! 3! 5!
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1
2 Erijuhul, kui = , saame Euler'i samasuse ei· + 1 = 0, (16.4) mis kaasab ühte lihtsasse valemisse 5 tähtsamat matemaatilist konstan- ti ja lisaks 4 põhitehet: astendamist, korrutamist, liitmist ja võrdust. Viimase põhjal peavad paljud matemaatikud Euler'i samasust läbi ae- gade üheks kõige ilusamaks valemiks. Kui kirjutada ei· = -1, siis võib näha, et irratsionaalarvu e aste imaginaararvuga i annab tulemuseks täisarvu (reaalarvu) -1. Üsna kummaline, eks ole? Olgu antud kaks kompleksarvu eksponentkujul z1 = r1 ei1 ja z2 = r2 ei2 . Siis 1. z1 · z2 = r1 · r2 · ei(1 +2 ) ; z1 r1 2. = ei(1 -2 ) , r2 = 0; z2 r2 3. z n = (r ei )n = rn ei n , n Z; +2k 4. n z= n r ei n , k = 0, 1, 2, . . . , n - 1. Märkus 16.3
) Õnneks kinni- tab aga algebra kenasti meie väiteid. Tõepoolest, korrutamise võime välja kirjutada järgmiselt: arvuhulgad Ning nagu jooniselt näeme, asub täpselt 45-kraadise nurga all suhtes, küll tõesti parasjagu nullpunktist kaugemal. See tuleneb lihtsalt sellest, et korrutamisel ei piisa ainult nurkade liitmisest, vaid tuleb omavahel korrutada ka kaugused. Imaginaararvuga korrutamisel on järelikult tegemist ainult pöördega 90o – tema kaugus nullist on ju täpselt 1 ühik. Nii liigub arv 1 arvuga korrutamisel täpselt -ks, arv aga -ga korrutamisel täpselt -ks. See pakub ka arvuga kor- rutamisele uue tõlgenduse: arvteljel oli arvuga korrutamise tõlgenduseks pee- geldus nullpunktist, nüüd aga teades, et , võime komplekstasandil arvuga korrutamisest mõelda ka kui 180 kraadisest pöördest.
annaabi.ee 
