Funktsioonid I Kordamine. 1. Leia määramispiirkond. a. y 4 x 3 3 x 1 X=R 3x 6 b. y x 1 x 2 4 X=R{-2, 1, 2} c. y x 2 6x 8 X ;2 4; x3 d. y X 4;0 4; x 3 16 x 2. Leia nullkohad, pos., neg. piirkonnad. a. y x 3 6 x 2 9 x 54 X 3;3 6; ; X ;3 3;6 4 ...
1) Näidake, et f (x) = -cos x . 2) Leidke võrrandi g(x) = -cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ]. 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f (x) > g(x) lõigul [0;2 ]. 41.(2010) On antud funktsioon f x x 3 3x 2 7 . 1. Näidake, et f (-2) > f (3) . 2. Leidke funktsiooni f (x) tuletis. 3. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid. 4. Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lõigul [- 2; 3]. 42. (2010) 1. On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c , kus a, b ja c on reaalarvud. Leidke kordajate a, b ja c väärtused nii, et funktsiooni f (x) graafik läbib punkti P(1; 3) ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a . Kontrollige saadud tulemusi. 2. Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x x2 suurim ja vähim väärtus lõigul [1; e]. 43.(2011)
Olgu vaja leida funktsiooni z=f(x,y) maksimumid ja miinimumid tingimusel, et x ja y on seotud võrrandiga (x,y)=0. Ekstreemumpunktid tuleb leida ainult nende hulgast, mis rahuldavad (x,y)=0. Viimane on ühe muutuja funktsiooni ilmutamata kujuks. Selle funktsiooni tuletis: Seega on z sisuliselt ühe muutuja x funktsioon. Täistuletise valemist: Järelikult Et ekstreemumpunktid , siis Eeldades, et fy'0, saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmiseks võrrandisüsteemi See võrrandisüsteem sobib kahe muutuja funktsiooni ekstreemumpunktide leidmiseks ühe lisatingimuse korral. Laiematel juhtudel, kui tuleb leida kolme või enama muutuja funktsiooni ekstreemumpunkte teatud lisatingimusel või lisatingimustel, on vaja üldisemat lahenduskirja. Toome sisse nn. Lagrange'i kordaja ja koostame Lagrange'i funktsiooni: .
xmax. Eelmises punktis skitseeritud joonise abil tuletise nullkohtade ümbrust uurides saame xmax = 0. Seega funktsiooni lokaalne maksimum ymax = f (0) = 2. Leiame funktsiooni väärtused lõigu otspunktides: f(-1) = - 6, f (4) = 14. Järjestame funktsiooni leitud väärtused: f (-1) < f (0) < f (4) . Seega lõigul [-1; 4] on funktsiooni suurim väärtus 14. Kommentaarid Diferentseeruva funktsiooni ekstreemumpunktide liigi võib määrata kas funktsiooni teist järku tuletise abil või uurides funktsiooni esimest järku tuletise märgi muutumist tuletise nullkohtade ümbruses. Olgu funktsiooni y f (x) tuletise nullkoht x0 . a) Ekstreemumpunkti liigi määramine teist järku tuletise abil: kui f " ( x0 ) < 0 , siis kohal x0 on funktsioonil maksimum, kui f " ( x0 ) > 0 , siis kohal x0 on funktsioonil miinimum. I y " = 6x 10
Asendades sellesse , saame dx dz = fx + fy - x . dx y dz Et ekstreemumpunktis = 0, siis dx x fx = fy . y Eeldades, et fy = 0 saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmi- seks v~orrandis¨ usteemi fx = x fy y (6.31) (x, y) = 0 32 See v~orrandis¨ usteem sobib kahe muutuja funktsiooni ekstreemumpunk- tide leidmiseks u ¨he lisatingimuse korral. Laiematel juhtudel, kui tuleb leida
annaabi.ee 
