2)Kui pind Ω on antud ilmutatud kujul võrrandiga z=z(x,y), xЄD, siis ʃʃΩfdxdy=±ʃʃDf[x, y, z(x,y)] 18. Greeni, Gauss-Ostrogradski ja Stokesi valemid, näiteid Stokesi valem võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil. Olgu pind Ω ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fy,fz,gx,gz,qx ja qy on pidevad pinnal Ω, siis kehtib Stokesi valem: ʃLfdx+gdy+qdz = ʃʃ(qy- gz)dydz + (fz-qx)dzdx + (gx-fy)dxdy, kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna Ω külje suhtes, mida mööda integreeritakse. Gauss-Ostrogradski valem võimaldab arvutada II liiki pindintegraali kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline pind V kinnine ja tema rajapind Ω sile. Kui funktsioonid f,g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on pidevalt piirkonnas V, siis kehtib Gauss-O: ʃʃfdydz + gdxdz + qdxdy = ʃʃʃ(fx + gy + qz)dxdydz, kus pindintegraal
1 + z x2 (x, y ) + z y2 ( x, y )dxdy NB! Teoreemi eeldus tagab antud pindintegraali olemasolu. Analoogselt: Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : y = y ( z , x ) ( z , x ) D = pr zx , siis f (x, y, z )dS = f (x, y(z, x ), z ) D 1 + y z2 ( z , x ) + y x2 ( z , x )dzdx . Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : x = x( y, z ) ( y, z ) D = pr yz , siis f (x, y, z )dS = f (x( y, z ), y, z ) D 1 + x y2 ( y, z ) + x z2 ( y, z )dydz . 21 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2
VV ydxdz VV xdydz 1 VV 3 zdxdy ydxdz xdydz 3.2.4 Stokesi valem See võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil. Teoreem 15. Olgu pind ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised f y , f z , g x , g z , q x ja q y on pidevad pinnal , siis kehtib Stokesi valem fdx gdy qdz qy g z dydz fz q x dzdx gx f y dxdy, L kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna külje suhtes, mida mööda integreeritakse.
annaabi.ee 
