Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x. Fakti, et funktsioonil f (x) eksisteerib tuletis punktis x0 , t¨ahistame l¨ uhidalt f (x) D(x0 ), st f (x0 ) f (x) D(x0 ). Fakti, et funktsioonil f (x) eksisteerib tuletis hulga X R igas punktis, t¨ahistame f (x) D(X). N¨ aiteks, funktsiooni f (x) diferentseeruvust vahemikus (a, b) t¨ahistame f (x) D ((a, b)) ehk l¨ uhidalt f (x) D(a, b). N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = xn (n N) tuletise n k n n Cnk xn-k (x) - xn
f (x) − T1 (x) lim (f (x) − T1 (x)) = lim · (x − a) = 0. x→a x→a x−a Niisiis, kui f on diferentseeruv kohal a, on f punkti a ümbruses lähendatav lineaarfunkt- siooniga T1 . Kõrgemat järku polünoomidega lähendamist punkti a ümbruses (kasutades sobivat järku diferentseeruvust) uuritakse alapeatükis „Taylori valem“ (vt. 4.3). Tuletise definitsioonist lähtudes leitakse lihtsamate elementaarfunktsioonide tuletised. Näiteks, 1) konstantse funktsiooni f : R → R, x 7→ c puhul f ′ (x) = 0 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 2) (cx + d)′ = c iga x ∈ R korral (kontrollige!)z, 3) (xn )′ = nxn−1 iga x ∈ R korral (kontrollige!)z. Seevastu absoluutväärtusega määratud funktsioonil x 7→ |x| ei ole punktis a = 0 tuletist (veenduge!)z.
see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- x0 x mus. Selleks leiame y y lim y = lim x = lim lim x = f (x) · 0 = 0, x0 x0 x x0 x x0 2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨argnev n¨aide aga t¨ahendab, et funktsiooni pidevusest diferentseeruvust ei j¨areldu. Vaatleme funktsiooni y = |x| punktis x = 0. Selles punktis on funktsiooni muut y = |0 + x| - |0| = |x|. Seega lim y = lim |x| = 0, x0 x0 st pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus kohal x = 0 on t¨aidetud. Leides aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused |x| lim = -1 x0- x ja
annaabi.ee 
