a = −1 või |a| > 1, siis jada √ (an ) hajub. (b) Kui a > 0, siis lim n a = 1. √ n→∞ (c) lim n n = 1. n→∞ Tõestus. (a) Ilmselt kehtib väide juhul kui a = 0 või a = 1, samuti on selge, et juhul a = −1 saame hajuva jada (−1, 1, −1, 1, . . .) (vt näidet 2.3). 1 Kui 0 < |a| < 1, siis b := |a| − 1 > 0. Binoomvalemi kohaselt 1 n n (n − 1) 2 n = (1 + b) = 1 + nb + b + . . . + bn > nb, |a| 2 mistõttu 11 0 < |an | = |a|n < → 0, bn omaduse 2.7 põhjal lim an = 0 (selgitada!)z. n→∞
1 Vaatleme jada, mille u ¨ldliige yn = 1+ , st jada n n 9 64 625 1 2, , , , ..., 1 + ,... (1.4) 4 27 256 n N¨aitame, et see jada on t~okestatud ja kasvav. Newtoni binoomvalemi abil n 1 1 n(n - 1) 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) 1 1 yn = 1+ =1+n· + · 2 + ... + k + ... + n = n n 2! n k! n n
n n ¨ Naitame, et lim ¨ n = 1. Selleks naitame, et lim ( n n - 1) = 0, n n milleks konstrueerime ulalt- ¨ ja althinnangud uldliikmele ¨ n := n n - 1. ¨ Tahistame an := n n = 1 + n , siis Newtoni binoomvalemi pohjal ~ n n n = (an )n = (1 + n )n = |n |k 1n-k k k=0 n n! n(n - 1)
annaabi.ee 
