= ln + ln | cos x| + x + C = ln | sin x + cos x| + x + C. 2 cos x 2 2 2 2 7.3 Muutuja vahetused t = sin x ja t = cos x Kui ratsionaalavaldis on kujul (v~oi h~olpsasti teisendatav kujule) R(sin x) cos x, siis integraali R(sin x) cos xdx (7.5) leidmiseks tehakse muutuja vahetus t = sin x, st dt = cos xdx, mille tagaj¨arjel integraal (7.5) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks R(t)dt. sin 2xdx aide 7.4. Leiame integraali N¨ . 1 + sin x Kahekordse argumendi siinuse valemit kasutades saame sin 2xdx 2 sin x = cos xdx, 1 + sin x 1 + sin x st integraali kujul (7
k~oigepealt u¨hte n¨ aidet mehaanika vallast. Olgu vaatluse all vedru, mis on u ¨ hest otsast kinnitatud ja teine ots on lah- tine. Olgu tasakaaluasendis vedru pikkus a. Kui vedrut kokku suruda v~oi v¨alja venitada ja seej¨arel vabastada, hakkab tema lahtine otspunkt tasakaaluasendi u ¨mber v~onkuma. Vedru pikkus on sel juhul ajast s~oltuv (seega j¨arjestatud) muu- tuv suurus x. V~onkumisprotsessi m~ojutavad mitmesugused takistusj~oud, mille tagaj¨arjel v~onkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨aheneb arvule a. Vaatame kuidas oleks v~oimalik sellist l¨ahenemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- ¨ v~oimalus on j¨argmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti u jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0
k~oigepealt u¨hte n¨ aidet mehaanika vallast. Olgu vaatluse all vedru, mis on u ¨hest otsast kinnitatud ja teine ots on lah- tine. Olgu tasakaaluasendis vedru pikkus a. Kui vedrut kokku suruda v~oi v¨alja venitada ja seej¨arel vabastada, hakkab tema lahtine otspunkt tasakaaluasendi u ¨mber v~onkuma. Vedru pikkus on sel juhul ajast s~oltuv (seega j¨arjestatud) muu- tuv suurus x. V~onkumisprotsessi m~ojutavad mitmesugused takistusj~oud, mille tagaj¨arjel v~onkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨aheneb arvule a. Vaatame kuidas oleks v~oimalik sellist l¨ahenemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- ¨ v~oimalus on j¨argmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti u jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0
annaabi.ee 
