võtteks: Tõestus: dF( Integreerime, kasutades asendust t = : F( ehk F( . Seega, *Tähistame t= . Kui eksisteerib ühene pöördfunktsioon x= ning tuletis leidub algfunktsoon G; siis saame määramata integraali arvutad kasutades muutujate vahetust: . Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv funktsioon. Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks.
() (-1 ()) leidub algfunktsoon G; siis saame määramata () = integraali arvutad kasutades muutujate vahetust: limmax (f) = = limmax (f) =
Kui F(x) on f(x) algfunktsioon, siis on seda ka F(x) + c iga c R korral. 32. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x) +c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f(x)dx. (c-integreerimiskonstant). 33. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 34. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsoon y=F(x) lõigus {a,b}, siis nimetatakse vahet F(b) F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse f(x)dx. piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab
Kui eksisteerib ühene pöördfunktsioon x= φ−1 (t) ning väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D={xk∈R| k=1,2,...,n} (xk sisaldava vahemiku pikkus <ε /n), samuti kui punkte on lõpmata palju aga tuletis φ' ja funktsioonil g ( t ) ≔ f (φ−1 ( t )) leidub algfunktsoon G; siis me saame nad nummerdada (loenduv hulk),st D={xk∈R|k∈N} (xk sisaldava vahemiku k pikkus <ε /2 ).Leidub ka muid hulki, mille Lebesgue mõõt on null.Erijuhud: saame määramata integraali arvutada kasutades muutujate vahetust : Lause: Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. Lause: kui f∈I[a,b] ja g on
annaabi.ee 
