funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on samuti (*)-arvutatavad. Anname ka sellise teoreemi tõestamise idee, mis ütleb, et iga osaliselt rekursiivne funktsioon on Turingi mõttes arvutatav ehk antud juhul (*)-arvutatav. 1. Osaliselt rekursiivsed funktsioonid. Operaatori µ abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavus. Enne põhiosa juurde asumist toome sisse mõned vajalikud definitsioonid. Definitsioon 1.1. ([1], 9) Algfunktsioonideks nimetatakse järgmisi naturaalarvulisi funktsioone: Funktsioone nimetatakse valikufunktsioonideks. Definitsioon 1.2. ([1], 10) Funktsioon on avaldatud funktsioonide ja kaudu asendusskeemi abil, kui . Definitsioon 1.3. ([1], 10) Funktsioon on avaldatud funktsioonide ja (konstandi ja funktsiooni ) kaudu lihtrekursiooniskeemi abil, kui juhul või Definitsioon 1.4. ([1], 22) Olgu funktsioon määratud hulga mingil alamhulgal ja olgu .
x2 x2 Nii on n¨aiteks funktsiooni x algfunktsiooniks , sest ( ) = x, funktsiooni cos x algfunktsioo- 2 2 niks sin x, sest (sin x) = cos x jne. Algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud, sest n¨aiteks peale funktsiooni sin x on cos x algfunktsioonideks ka sin x + 2, sin x - ja igasugune avaldis kujul sin x + C, kus C on suvaline konstant. ¨ Uldjuhul, kui funktsiooni f (x) algfunktsiooniks on F (x), siis on f (x) algfunktsiooniks ka avaldis kujul F (x) + C, kus C on suvaline konstant. Tekib k¨ usimus, kas funktsioonil f (x) on veel muid algfunktsioone, mis ei avaldu kujul F (x) + C. Sellele annavad vastuse kaks j¨argmist lauset. Lause 1.1. Kui F (x) = 0 piirkonnas X, siis F (x) on selles piirkonnas konstantne.
aramata integraal. Algfunktsiooni m~ oiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunkt- siooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F (x) = f (x). N¨aiteks funktsioon F (x) = sin x on funktsiooni f (x) = cos x algfunktsioon hulgas R, sest iga x R korral (sin x) = cos x. Paneme t¨ahele, et algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. N¨aiteks on funkt- siooni f (x) = cos x algfunktsioonideks ka k~oik funktsioonid F (x) = sin x + C, kus C on suvaline konstant. T~oepoolest, kuna konstandi tuletis on null, kehtib (sin x + C) = (sin x) + C = cos x. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~ oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~ oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime
aramata integraal. Algfunktsiooni m~ oiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunkt- siooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F (x) = f (x). N¨aiteks funktsioon F (x) = sin x on funktsiooni f (x) = cos x algfunktsioon hulgas R, sest iga x R korral (sin x) = cos x. Paneme t¨ahele, et algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. N¨aiteks on funkt- siooni f (x) = cos x algfunktsioonideks ka k~oik funktsioonid F (x) = sin x + C, kus C on suvaline konstant. T~oepoolest, kuna konstandi tuletis on null, kehtib (sin x + C) = (sin x) + C = cos x. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~ oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~ oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime
annaabi.ee 
