aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: ( + ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi: Lemma 2.1.1. 0 + 0 = 0 + 0. Selle lemma kehtimine on ilmne. Lemma 2.1.2. [0 + = + 0 0 + = + 0]. Selle üldisuse kvantoriga valemi tõestamiseks tähistagu suvalist naturaalarvu. Piisab, kui tõestame 0 + = + 0 0 + = + 0. (*)
Näide: Kõik inimesed on kümnevarbalised - otsustuse tõeväärtus on määramatu, sest Ükski inimene ei ole kümnevarbaline - ei kehti, (Kalahari kõrbes elavatel suguharu liikmetel on tõepoolest ainult kaks varvast), siis otsustus: Mõned inimesed ei ole kümnevarbalised - jääb loogikas määramatuks. 3.A&I; E&O on ALLUVAD ehk SUBORDINAARSED Neli juhtumit: a) kui üldine ( A, E) on kehtiv, siis on kehtiv ka osaline (vastavalt I ja O). See seos on formuleeritud Aristotelese aksioomis deduktiivse mõtlemise põhilausena: kõike, mida jaatatakse kogu klassi kohta, jaatatakse iga üksiku kohta, mis sellesse klassi kuulub ja vastupidi, kõike, mida eitatakse kogu klassi kohta, eitatakse iga üksiku kohta, mis sellesse klassi kuulub. Näiteks, Ükski jalgpallur ei 11 Ilmar Lilleorg Loogika vihik
joonisel 2.2 F1 A F2 B Joonis 2.2 See aksioom annab sisuliselt meile informatsiooni selle kohta, milline näeb välja kõige lihtsam tasakaalus olev jõusüsteem. Seega: kõige lihtsam tasakaalus olev jõusüsteem koosneb kahest jõust ja sedagi juhul, kui on täidetud aksioomis olevad nõuded – need kaks jõudud peavad olema moodulilt võrdsed, suunalt vastupidised ja nende mõjusirged peavad ilmtingimata ühtima. Sellest järelduvalt: ainult ühest jõust (ja mitte rohkem) koosnev jõusüsteem ei ole kunagi tasakaalus. Siia tuleb lisada veel ühe äärmiselt tähtsa märkuse: see aksioom kehtib ainult absoluutselt jäiga keha korral, sest deformeeruva keha puhul kutsuvad joonistel 2.1 ja 2.2 näidatud jõud esile rakenduspunktide A ja B nihkumise, s.t
4) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk on vektorruum. 5) Kõigi maatriksite hulk on vektorruum maatriksite liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes. 6) Näide hulgast, mis pole vektorruum. Olgu V = ja defineerime tehted järgmiselt. Olgu ja , siis Antud juhul omadus V8 aksioom ei kehti, sest korral, kui , siis Seega hulk V ei ole selliste tehete suhtes vektorruum. Vektorrumi definitsioonis aksioomis V3 öeldakse, et leidub vähematl üks nullvektor. Me näitame, et leidub täpselt üks nullvektor. Lause. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. Tõestus. Vektorruumis on vähemalt üks nullvektor vektorruumi aksioomide tõttu. Näitame, et see nullvektor on ainus. Selleks oletame vastuväiteliselt, et vektorruumis leidub veel teinegi nullvektor mille korral kehtib samuti . Siis kehtib see ka korral, seega
annaabi.ee 
