korral A Ì B Ì C) 4) Vastandsündmus A: sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid:
Kui teoorias oleksid tuletavad sekventsid F ja ¬F ning teooria omaaksioomidel leidub mudel, siis peaksid valemid F ja ¬F olemas selles mudelis mõlemad tõesed, mis on aga võimatu. Teoreem 10. (täielikkuse teoreem) Kui sekvents 1 , 2 , ... , G on tõene esimest järku teooria omaaksioomide kõikides mudelites, siis sekvents on teoorias tuletatav. 12 Formaalne aritmeetika: Naturaalarvude aksiomaatikast · Esimest järku teooria semantika on teooria omaaksioomide kõikides mudelites tõesuse semantika: (valem on semantikas tõene, kui ta on tõene omaaksioomide igas mudelis). · Naturaalarvude puhul on loomulik selle asemel vaadelda ühes konkreetses mudelis tõesuse semantikat ja ka siin püstitada küsimuse aksiomaatika korrektsusest, mittevasturääkivusest ja täielikkusest. · Et on aksioomide A1A7 mudel, siis on teooria korrektne.
B C) Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) 0) Tõenäosuse määramisviisid:
Äsjatoodud mitteformaalne arutlus muidugi veel aritmeetika mittetäielikkust ei tõesta. Gödel kodeeris mittetäielikkuse tõestamiseks formaalse aksiomaatika aritmeetikasse. Nimelt saab kogu nimetatud formaalse süsteemi ja kõik väited esitada aritmeetika enda teoreemidena, s.t teoreemidena täisarvude kohta. Seega õnnestub kirja panna aritmeetikateoreem A, mille sisuline tähendus formaalses süsteemis on, et seesama teoreem A ei ole aritmeetika aksiomaatikast tõestatav. Teoreem A on tegelikult tõene, aga kasutatud formaalsest süsteemist endast teda tuletada ei saa, tarvis on aksioome juurde lisada. Nende lisamise korral ilmnevad uued tõesed, aga mittetõestatavad teoreemid, mille tõestamiseks on tarvis jälle uusi aksioome lisada, jne jne. Sellest näiliselt ainult aritmeetikasse puutuvast spetsiifilisest teoreemist järeldub, et ühtegi piisavalt keerulist
Kontiinumi võimsusega hulki tähistatakse sümboliga c ehk ¿ R¿ c . Kokkuvõtvalt teame, et iga n N korral n<0 < c . Kontiinumi probleem Kas leidub hulk X nii, et ¿ N¿X ¿R¿ ? Kontiinumi hüpotees: sellist hulka X ei leidu. Georg Cantor (1878): Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N , kuid vähem võimas kui R . Kurt Gödel (1940): Tavalisest aksiomaatikast lähtudes, ei saa tõestada, et vahepealseid võimsusi ei ole. Paul Cohen (1963): Vahepealsete võimsuste olemasolu, samuti mitteolemasolu ei ole vastuolus teiste aksioomidega. Lihtsustatult võib öelda, et saab vaadelda kahesugust hulgateooriat: üht, milles kontiinumi hüpotees kehtib, ja teist, milles kehtib kontiinumi hüpoteesi eitus. Eeldusel, et kontiinuumi hüpotees on tõene, defineeritakse 1 hulga R võimsusena. See
annaabi.ee 
