5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused
3.5 Olgu X k˜oigi kujutuste hulk l˜oigult [0; 1] reaalarvude hulka R: X = { f | f : [0; 1] −→ R }. Samaselt nulliga v˜orduvat kujutust t¨ahistame f0 : f0 (x) = 0 iga x ∈ [0; 1] korral. Iga kujutuse f ∈ X, positiivse reaalarvu ja l˜opliku arvu erinevate elementide x1 , . . . , xn ∈ [0; 1] jaoks moodustame hulga X alamhulga U (f ; x1 , . . . , xn ; ) = { g ∈ X | |f (xi ) − g(xi )| < iga i = 1, . . . , n korral}. (3.3) T¨ahistagu A k˜oigi selliste kujutuste f ∈ X hulka, mille korral f ([0; 1]) ⊂ {0; 1} ja f (x) = 0 ainult l˜opliku arvu x v¨a¨artuste korral l˜oigult [0; 1]. N¨aidata, et: 34 3 SISEMUS JA SULUND a) hulgad (3.3) moodustavad hulga X punktide u ¨mbruste baasi mingi topoloogia T suhtes (fikseerime selle topoloogia); b) f0 kuulub hulga A sulundisse cl(A) topoloogia T suhtes; c) f0 pole u ¨hegi hulka A kuuluva jada piirv¨a¨artus topoloogia T suhtes
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused
annaabi.ee 
