1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks: ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) 2 Ruutvõrrandi lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x= 2a
Murru taandamine Algebraliste murdude taandamiseks kasutatakse: 1) ühise teguri sulgude ette toomist 4x + 8 4( x + 2) 2 N = = 2 x + 4 x 2 x( x + 2) x 2 2) abivalemeid 5a - 50 5( a - 10) 5 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) N = = a - 100 ( a + 10 )( a - 10 ) a + 10 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 (
cth x := ( cot x ) = - 12 ( arc cot x ) = - 1 2 ( cth x ) = - 12 ( arcth x ) = 1 2 sh x sin x 1+ x sh x 1- x Trigonomeetria abivalemeid sin 2 x + cos 2 x = 1 tan cot = 1 ch 2 x - sh 2 x = 1 th cth =1 1 1 1 1 = 1 + cot 2 = 1 + tan 2 - = 1 - cth 2 x = 1 - th 2 x sin 2
= tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos tan = = cot cot sin 2. Ühise teguri sulgude ette toomist 3. Ühise nimetaja leidmist 4. Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Näited: 1. (1 - sin )(1 + tan ) - cos = cos 1 2 2 2 2 - cos 2 = 1 - cos 2 = sin 2 cos 2
x +3 3x - 3 x+2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi. Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused: · lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa · lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) xa x a xa f ( x ) lim f ( x)
379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x - 2)( x + 2) = x 2 - 4 b) (3 + 2 x) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9 f) (2u - 3v) 2 = 4u 2 - 12uv + 9v 2 g) (t + 2)(t 2 - 2t + 4) = t 3 + 2 3 = t 3 + 8 e) (2 x - 3)(3 + 2 x) = (2 x + 3)(2 x - 3) = 4 x 2 - 9 i) ( y - 1)( y 2 + y + 1) = y 3 - 1 j) (b + 1) 3 = b 3 + 3b 2 + 3b + 1 (1 - 2 x) 3 = 1 - 3 × 2 x + 3 × 4 x 2 - (2 x) 3 = n) 1 - 6 x + 12 x 2 - 8 x 3 = -8 x 3 + 12 x 2 - 6 x + 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 - 25 = ( x - 5)( x + 5) b) x 2 -10 x + 25 = ( x - 5) 2 d) a 2 + 4a + 4 = ( a + 2) 2 f) a 3 + 4a + 4 = (a + 2) 2 i) 27 + x 3 = 33 + x 3 = (3 + x)(9 - 3x + x 2 ) j) x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2) 3 n) 27 - 27 x + 9 x 2 - x 3 = (3 - x) 3 382 Taanda hulkliige, selleks too ühine tegur sulgude ette. a) 3 x 2 + 6 x + 3 = 3 = 3( x 2 + 2 x + 1) = 3( x + 1) 2 b) 5a 2 -10a + 5 = 5(a 2 - 2a +1) = 5(a -1) 2 d) - x 2 -10 x - 25 = -( x 2 + 10 x + 25) = -( x + 5) 2 g) 3u 2 -12u = 3u (u - 4)
379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x 2)( x 2) x 2 4 b) (3 2 x) 2 4 x 2 12 x 9 f) ( 2u 3v) 2 4u 2 12uv 9v 2 g) (t 2)(t 2 2t 4) t 3 2 3 t 3 8 e) (2 x 3)(3 2 x) (2 x 3)(2 x 3) 4 x 2 9 i) ( y 1)( y 2 y 1) y 3 1 j) (b 1) 3 b 3 3b 2 3b 1 (1 2 x) 3 1 3 2 x 3 4 x 2 (2 x) 3 n) 1 6 x 12 x 2 8 x 3 8 x 3 12 x 2 6 x 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 25 ( x 5)( x 5) b) x 2 10 x 25 ( x 5) 2 d) a 2 4a 4 ( a 2) 2 f) a 3 4a 4 (a 2) 2 i) 27 x 3 33 x 3 (3 x)(9 3 x x 2 ) j) x 3 6 x 2 12 x 8 ( x 2) 3 n) 27 27 x 9 x 2 x 3 (3 x) 3 382 Taanda hulkliige, selleks too ühine tegur sulgude ette. a) 3 x 2 6 x 3 3 3( x 2 2 x 1) 3( x 1) 2 b) 5a 2 10a 5 5( a 2 2a 1) 5(a 1) 2 d) x 2 10 x 25 ( x 2 10 x 25) ( x 5) 2 g) 3u 2 12u 3u (u 4) h) 6 24 x 2 y 2 6(1 4 x 2 y 2 ) 6(1 2 xy )(1 2 xy )
379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid. a) ( x 2)( x 2) x 2 4 b) (3 2 x) 2 4 x 2 12 x 9 f) ( 2u 3v) 2 4u 2 12uv 9v 2 g) (t 2)(t 2 2t 4) t 3 2 3 t 3 8 e) (2 x 3)(3 2 x) (2 x 3)(2 x 3) 4 x 2 9 i) ( y 1)( y 2 y 1) y 3 1 j) (b 1) 3 b 3 3b 2 3b 1 (1 2 x) 3 1 3 2 x 3 4 x 2 (2 x) 3 n) 1 6 x 12 x 2 8 x 3 8 x 3 12 x 2 6 x 1 380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid) a) x 2 25 ( x 5)( x 5) b) x 2 10 x 25 ( x 5) 2 d) a 2 4a 4 ( a 2) 2 f) a 3 4a 4 (a 2) 2 i) 27 x 3 33 x 3 (3 x)(9 3 x x 2 ) j) x 3 6 x 2 12 x 8 ( x 2) 3 n) 27 27 x 9 x 2 x 3 (3 x) 3 382 Taanda hulkliige, selleks too ühine tegur sulgude ette. a) 3 x 2 6 x 3 3 3( x 2 2 x 1) 3( x 1) 2 b) 5a 2 10a 5 5( a 2 2a 1) 5(a 1) 2 d) x 2 10 x 25 ( x 2 10 x 25) ( x 5) 2 g) 3u 2 12u 3u (u 4) h) 6 24 x 2 y 2 6(1 4 x 2 y 2 ) 6(1 2 xy )(1 2 xy )
Erinevus baasist B2 seisneb selles, et baas B3 lubab kasutada "puhast" konjunktsiooni (ilma inversioonita). Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 & x2 ) & ( x1 & x 3 ) 27 · B4 ={ f7 , f12 } Teisendus analoogiline teisendusega baassüsteemi B3 . Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 ( x2 x3 ) · B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid: x1 x2 = x 1 x2 x1 & x2 = x1 x 2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x3 x2 ) x1 Märgime, et resultaadi minimaalsus sõltub DNK liikmete paigutusest ja asenduste sooritamise järjekorrast. · B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: x = x 0 x1 x2 = ( x1 0) x2 ( x1 & x2 = x1 ( x2 0) 0 ) (x1 0) ( x2 0) = x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 0) ( ( x3 x2 ) 0) = ( x3 x2 ) x1 · B7 ={ f6 , f13 }
Erinevus baasist B2 seisneb selles, et baas B3 lubab kasutada "puhast" konjunktsiooni (ilma inversioonita). Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 & x2 & x1 & x 3 B4 ={ f7 , f12 } Teisendus analoogiline teisendusega baassüsteemi B3 . Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid: x1 x2 x 1 x2 x1 & x2 x1 x 2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x3 x2 x1 Märgime, et resultaadi minimaalsus sõltub DNK liikmete paigutusest ja asenduste sooritamise järjekorrast. B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: xx0 x1 x2 x1 0 x2 x1 & x2 x1 x2 0 0 x1 0 x2 0 x2 x1
1 Vastus. x+ y 4x x 3 − 8 4 x 2 − 8 x + 16 16 Näide 11. Lihtsustada avaldis − 3 ⋅ : . x + 2 x + 8 x 2 − 4 x+2 Lahendus. Lahutame sulgudes oleva avaldise teise liikme lugeja ja nimetaja teguriteks, kasutades abivalemeid ning asendame väljaspool sulge oleva jagamise tehte korrutamisega (pöörame murru ringi). Taandame. Siis toome sulgude ette 4 sulgudes oleva avaldise mõlemas liikmes esineva teguri . Taandame. x+2 Koondamisel on sarnased liikmed alla joonitud. 4x x3 − 8 4 x 2 − 8 x + 16 16 − 3 ⋅ : =
annaabi.ee 
