projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} (a x b) ( (x) (x))}. Rajajoont läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x,(x))dx + 0 = = - X(x,(x)) X(x, (x)))dx. Siis dx = - ydxdy. 2. Olgu piirkond D jaotatav y-teljega paralleelsete sirglõikudega m x-telje suhtes normaalseks piirkonnaks Dk vastavalt rajajoontega k. Et iga y-teljega paralleelset sirglõiku, mis eraldab kaht normaalset
GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} ( ׀a x b) ˄ ( (x) (x))}. Rajajoont Г läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x, (x))dx + 0 = =- X(x,(x)) – X(x, (x)))dx. Siis dx = - ydxdy. 2. Olgu piirkond D jaotatav y-teljega paralleelsete sirglõikudega m x-telje suhtes normaalseks piirkonnaks Dk vastavalt rajajoontega Гk.
Masspunkti P inertsimomendiks mingi punkt 0 suhtes nimetatakse punkti P massi ja kauguse ruudu korrutist. I=m*r2 I vastavalt x- ja y-telje suhtes valemitega: Ix=ʃʃDy2dxdy Iy=ʃʃDx2dxdy I koordinaatide alguse suhtes valemiga: Io=Ix+Iy=ʃʃD(x2+y2)dxdy 3)Tasandilise kujundi masskese: Kui tasandilise kujundi D pindtihedus on mingi funktsioon γ=γ(x,y), siis tasandilise kujundi D masskeskme (xc,yc) koordinaadid saab arvutada: xc=[ʃʃDγ(x,y)xdxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] ning yc=[ʃʃDγ(x,y)ydxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] 7. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides, Poissoni integraal, näideπ Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus. Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x
1 1 1 2 x2 1 x dx 24 0, 042 0 1.8.3 Tasandilise kujundi masskese. Kui tasandilise kujundi D pindtihedus on mingi funktsioon x, y , siis tasandilise kujundi D masskeskme x c , y c koordinaadid saab arvutada valemitest x,y xdxdy x,y ydxdy D D xc yc x,y dxdy x,y dxdy D D Avaldisi My x, y xdxdy ja Mx x, y ydxdy D D
annaabi.ee 
