Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 11 (Cauchy kriteerium) Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kuivastavalt igale pos.arvule leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib Ixn+p-xnI<, kui n>n0 1.4 Arv e Vaata tõestust! 1.5 Funktsiooni piirväärtus DEF 1. Suurust a nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise - ümbruse U(a) korral leidub selline arvu x0 -ümbrus U(x0), et f(U(x0 {x0}) c U(a) DEF 2. Kui >0, siis punkti x0 vasakpoolseks -ümbruseks nim. vahemikku (x0-; x0) ja tähistatakse U(x0+) DEF 3. Kui >0, siis punkti x0 parempoolseks -ümbruseks nim. vahemikku (x0;x0+) ja tähistatakse U(x0+) DEF 4. Suurust a nim
Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa Suurust + nim funkts-i piirväärtuseks punktis a, kui iga M0 leidub 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 Ix-aI, kehtib võrratus f(x)M
Ütleme, et indeks m on jada (xn ) tippkoht, kui xn 6 xm iga n > m korral. Põhimõtteliselt on jada (xn ) puhul kolm võimalust: 1) tal on lõpmata palju (täpsemalt loenduv arv) tippkohti, 2) tal on lõplik arv tippkohti ja 3) tal ei ole üldse tippkohti. Juhul 1) paneme tähele, et tippkohtade n1 < n2 < . . . järgi moodustub kahanev osajada (xnk ): kui nk on tippkohale nk−1 järgnev tippkoht, siis xnk 6 xnk−1 (põhjendada!)z. Juhul 2) konstrueerime kasvava osajada (xni ) järgmiselt. Olgu n1 mingi indeks, mis on suurem kõikidest tippkohtadest, siis on võimalik leida indeks n2 > n1 nii, et xn2 > xn1 (põhjenda- da!)z. Edasi leiame sellise n3 > n2 , et xn3 > xn2 jne. Tulemuseks saame kasvava osajada (xn1 , xn2 , . . .) . Samamoodi toimime ka juhul 3), võttes n1 := 1. Lause on tõestatud. Lausest 2.13 ja monotoonsuseprintsiibist tuleneb vahetult järgmine teoreem. Teoreem 2.14 (Bolzano–Weierstrassi teoreem). Iga tõkestatud jada sisaldab koonduva
annaabi.ee 
