Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest ∫𝑥 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∑∞ 𝑘=1 ∫𝑥 𝑢𝑘 (𝑥) 0 0 vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗, 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse Järeldus on ilmne, sest kui funktsioonid 𝑢𝑘 (𝑥) k = 1, 2, ... on pidevad lõigul [𝑎; 𝑏], siis on need pidevad ka lõigul [𝑥0 ; 𝑥] ja kui omaduse tõttu (𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗)2 ≥ 0 iga 𝜆∈ 𝑅 korral. Kasutades teisi skalaarkorrutamise omadusi, saame viimase võrratuse teisendada
Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest Lause Ortonormeeritud süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma 𝑆𝑛 (𝑥) = seosega vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗ , 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝜑𝑘 (𝑥) kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) ja korrutamine arvuga αx = (αx1, . . . , αxn) ,kusjuures x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . .
annaabi.ee 
