järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0
Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D Kahekordse integraali geomeetriline sisu : Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2
..,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk. Siis ositab õigeks järgmine väide: kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade s i maksimaalse läbimõõdu
kõrgus f(Pi). Vaatame silindrite ühendit Z1Z2 ... Zn. Osasilindri Zi yj=yj-yj-1 ja seega Sk= xi×yj. Valime punktid pi [xi-1,xi] ja rj [yj- = lim xf ( pif,(yp)dy x ruumala V=f(Pi)Si ning kogu treppkeha ruumala on integraalsumma Vn 1,yj]. Saame punkti Pk(pi,rj)Sk D* a c 2
annaabi.ee 
