Hu lkra kn e niitja s ro h e lis t vä rvi ve tika s . Niid id ka s va va d s a d a d e ka u p a ko o s , kin nitu va d ve e s o le va te le e s e m e te le . Üks ikud ra kud o n kujult s ilind rilis e d , ne nd e p ikkus ja la iu s e s u h e o n 1 /3 ...1 /2 . Ig a s ra ku s p e a le a lum is e o n vö ö ku juline kro m a to fo o r. Alum ine ra kk o n ko h a s tunu d kinnitum is e ks . Paljunemine P a ljune b nii ve g e ta tiivs e lt kui s ug ulis e lt. Ve g e ta tiivs e lt võ ib p a ljune d a niitid e tükike s te g a võ i rä nd e o s te g a . Levik ja ohtrus Vä g a ta va line ve tika p e re ko n d ko g u m a a ilm a p uh ta ve e lis te s vo o luve e ko g ud e s . Kasvukoht Ka s va b p uh a s te s ja h e d a ve e g a vä iks e m a te s vo o luve e ko g ud e s (jõ g e d e s ja o ja d e s ) .
D ef: Olgu D f f un k ts ioon i f m ääram is p iirk on d ja S D f . Fu nk ts ioon i f n im etam e k ah an evak s p iirk on n as S p arajas ti s iis k u i k õigi x1, x2 S korral järeld u b x1< x2,- st et f(x1)>f (x2). Ü l: N äidata , et funkts ioon f= (x+ 2)/(x+ 1) on kahanev (- ,-1) ja (-1, ) 7. Bijektiivsed funktsioonid ja pöördfunktsioonid D ef. Olgu f: A->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b f(x)=f (y)-s t, et x=y . D ef. S am aväärs elt: Olgu f : A ->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b x y -st, et f(x) f(y). S ama sus funkts ioon on inj ektiivne definits iooni kohas elt. N 1: O lgu m> 1 pos itiivne täis arv, s iis funkts ioon h(n)= n mod m ei ole inj ektiivne . Ilms e lt 2m+ 1 m+ 1, aga s ama l aj al h(2m+ 1)= h( m+ 1)= 1 (x= 2m+ 1 j a y= m+ 1)
D ef: Olgu D f f un k ts ioon i f m ääram is p iirk on d ja S D f . Fu nk ts ioon i f n im etam e k ah an evak s p iirk on n as S p arajas ti s iis k u i k õigi x1, x2 S korral järeld u b x1< x2,- st et f(x1)>f (x2). Ü l: N äidata , et funkts ioon f= (x+ 2)/(x+ 1) on kahanev (- ,-1) ja (-1, ) 7. Bijektiivsed funktsioonid ja pöördfunktsioonid D ef. Olgu f: A->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b f(x)=f (y)-s t, et x=y . D ef. S am aväärs elt: Olgu f : A ->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b x y -st, et f(x) f(y). S ama sus funkts ioon on inj ektiivne definits iooni kohas elt. N 1: O lgu m> 1 pos itiivne täis arv, s iis funkts ioon h(n)= n mod m ei ole inj ektiivne . Ilms e lt 2m+ 1 m+ 1, aga s ama l aj al h(2m+ 1)= h( m+ 1)= 1 (x= 2m+ 1 j a y= m+ 1)
K eel koos neb kõikvõima likes t mit tetühj ades t tähes tiku abil moodus tatud s tringides t: L1 = { x xx xxx xxxx ... } K eele s aame ka teis iti es itada: L1 = { x n for n = 1 2 ... } D ef. S õna pikkus eks nimeta me tähes tiku tähtede arvu s õnas j a tähis tame w N 11: O lgu = { a ,b } Loetled a kõik hulga A elemendid kui A = { w * : w = 2 } Hu lk ad ega teos tatavate op erats ioon id e om ad us ed : · Kommu ta tiivs us s eadus ed A B = B A B = B · As s ots iatiivs us s eadus ed A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C · D is tributi ivs us s eadus ed A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) es imes eks märg iks es imene A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) · D e Morgani s eadus s eadus ed (eitamine, vas tupidi) A B = A B täiendi te ühis os a A B = A B · Idempoten ts us s eadus A = A A = A · V älis tatud kolmand a s eadus ed A A = I A A = · Topelttäi endi seadus
.. } D ef. S õna pikkus eks nimeta me tähes tiku tähtede arvu s õnas j a tähis tame w N 11: O lgu = { a ,b } Loetled a kõik hulga A elemendid kui A = { w : w = 2 } ( s õnapikkus on kaks ) * aa,ab,ba,bb N im etatak s e f orm aals ek s k eelek s , n en d el p u ud u b k eelelin e täh en d us n agu in glis e ees ti jn e k eeled Hu lk ad ega teos tatavate op erats ioon id e om ad us ed : · Kommu ta tiivs us s eadus ed A B = B A B = B · As s ots iatiivs us s eadus ed A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C · D is tributi ivs us s eadus ed A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) es imes eks märg iks tuleb es imene märk A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) · D e Morgani s eadus s eadus ed A B = A B A B = A B · Idempoten ts us s eadus A = A A = A · V älis tatud kolmand a s eadus ed A A = I A A = · Topelttäi endi seadus A = A
S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 = 4 * k 2 = 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni. Tões tada predikaat P (n) on tõene mit tenega tiivs e täis arvu n> = n0 j aoks . M atema ati line indekts ioon koos neb järgmis t es t s ammudes t : a) Tões tada et P(n0) on tõene (induks tiooni baas ) b) Eeldada et P (n) on tõene (induks tiooni hüpotees ) c) Tões tada, et P(n+ 1) on tõene (induks tiooni s amm) N äide: Tões tada mate ma at il is e induks iooni abil, et Tões tus : O lgu P (n)= 1+ 2+ 3+ ....+ n-1+ n a) P (1)= 1= 1*(1+ 1)/2= 1 b) P (n)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n= n*(n+ 1)/2 c) P (n+ 1)= 1+ 2+ 3+ ..
S eetõttu tões tame p-> q as emel , et ~p-> ~q. N äide: Kui n 2 on paaritu täis arv s iis on s eda ka n. Tões tus : Eelda me vas tuväitel is elt et n on paaris arv. S iis võime kirj utada, et n= 2*k j a s eega n 2 4 * k 2 2 * ( 2 * k ) , paaris täis arv. 4. Matemaatilise induktsiooni meetod P aramee trit s is aldavate väidete (predikaatide P(n)) tões ta mis eks kas utataks e s ageli mate ma at il is t indukts iooni. Tões tada predikaat P (n) on tõene mit tenega tiivs e täis arvu n> = n0 j aoks . M atema ati line indekts ioon koos neb järgmis tes t s ammudes t : a) Tões tada et P (n0) on tõene (induks tiooni baas ) b) Eeldada et P (n) on tõene (induks tiooni hüpotees ) c) Tões tada, et P (n+ 1) on tõene (induks tiooni s amm) N äide: Tões tada mate ma at ilis e induks iooni abil, et Tões tus : O lgu P (n)= 1+ 2+ 3+ ....+ n-1+ n a) P (1)= 1= 1*(1+ 1)/2= 1 b) P (n)= 1+ 2+ 3+ ...+ n-1+ n= n*(n+ 1)/2 c) P (n+ 1)= 1+ 2+ 3+ ..
annaabi.ee 
