, , sin x 2 + cos x sin2 x + cos x v~oi erandjuhul trigonomeetriliste funktsioonide korrutised, n¨aiteks sin 2x cos2 x. 14 7.1 ¨ Uldine muutuja vahetus x Muutuja vahetusega t = tan saab integraali (7.1) alati teisendada ratsionaalavaldise in- 2 x tegraaliks, sest = arctan t millest x = 2 arctan t ja 2 2dt dx = . 1 + t2 Teiseks, x x x sin 2 · 2 sin cos sin x = 2= 2 2 .
Tõestus. Vaadelge funktsiooni H(x) = G(x) − F (x), leidke, et H ′ (x) = 0 ning järeldage lause 4.12 abil, et H on konstantne funktsioon (iseseisvalt!z). Lause 5.24 tõttu on intervallis D funktsiooni f : D → R kõigi algfunktsioonide üldkuju F (x) + C, kus F : D → R on funktsiooni f mingi algfunktsioon. Algfunktsiooni üldkuju F (x) + C märgitakse sümboliga f (x) dx ning nimetatakse funktsiooni f määramata in- R tegraaliks. Juhime tähelepanu asjaolule, et määramata integraali leidmine on tuletise pöörd- operatsioon ning määramata integraal pole otseselt seotud funktsiooni integreeruvuse ega integraalsummadega. Järeldus 5.25 (Newton-Leibnizi valem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis Z b f (x) dx = F (b) − F (a) , (5.19) a
annaabi.ee 
