DEF 7. Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et f(x) on pidev hulgal X tähistatakse lühidalt f(x) C(X). 1.8 Joone asümptoodid DEF 1. Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nim. seda sirget antud joone asümtoodiks. 1.9 Lõigul pidevate funktsioonide omadused DEF 1. Hulgal X c R vähimat ülemist tõket nim. hulga X ülemiseks rajaks ehk supreemumiks. Hulga X ülemist raja tähistatakse sup X ehk sup x Xx. DEF 2. Hulgal X c R suurimat alumist tõket nim. hulga X aluseks rajaks ehk infiimumiks. Hulga X alumist raja tähistatakse inf X ehk infx Xx. DEF 3. Funktsiooni maksimaalset ja minimaalset väärtust hulgal nim. ühe nimega ekstremaalseks väätuseks sel hulgal. DEF 4. Funktsiooni y=f(x) nim. ühtlaselt pidevaks hulgal X c R, kui iga >0 =()>0 : x1, x2 X ja I x1-x2 I < ->I f(x1)-f(x2) I <.
M¨ arkus 1. L~ oplikus vahemikus pidev funktsioon ei ole u ¨ldjuhul t~okestatud selles vahemikus. N¨ aiteks funktsioon f (x) = 1/x on pidev vahemikus (0; 1), kuid ei ole t~okestatud selles vahemikus. T~ oesti, M > 1 korral on vahemiku (0; 1/M ) igas punktis funktsiooni f (x) v¨ a¨ artus suurem kui M. Definitsioon 1. Hulga X R v¨ ahimat u ¨lemist t~oket nimetatakse hulga X u ¨lemiseks rajaks ehk supreemumiks. Hulga X u ¨lemist raja t¨ahistatakse sup X ehk supxX x. Definitsioon 2. Hulga X R suurimat alumist t~oket nimetatakse hulga X alu- miseks rajaks ehk infiimumiks. Hulga X alumist raja t¨ahistatakse inf X ehk inf xX x. N¨aide 1. Olgu X = {1/n}nN = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . }. Leiame sup X ja inf X. Hulga X u ¨lemiseks t~ okkeks on suvaline M R, mis rahuldab seost M 1. Selliste t~okete hulgas on t~oke 1 v¨ahim. Seega
10 1 Reaalarvud Selge, et igal ülalt (alt) tõkestatud hulgal leidub lõpmata palju ülemisi (alumisi) tõkkeid. Küsimus on vähima ülemise ning suurima alumise tõkke olemasolus. Definitsioon. Kui ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊆ F on olemas vähim üle- mine tõke, siis seda nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ehk supreemumiks (supremum, точная верхняя граница) ja tähistatakse sup X ehk sup {x | x ∈ X} (ka sup x). Alt tõkesta- x∈X tud mittetühja hulga X suurimat alumist tõket (kui see eksisteerib) nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ehk infiimumiks (infimum, точная нижняя граница) ja tähistatakse inf X ehk inf {x | x ∈ X} (ka inf x). x∈X
annaabi.ee 
