seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Tõestada tarvilik ja piisav tingimus tõkestatud funktsiooni integreeruvuseks (teoreem 11.3): Tõkestatud funktsioon f : [a, b] → R on lõigus [a, b] integreeruv parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub selline alajaotus T0 ∈ , et S (T0) − s (T0) < ε. Tarvilikkus. Eeldame, et f on integreeruv, olgu ε > 0. Kuna I (f) = I ∗ (f) = sup {s (T) | T ∈ } , siis supreemumi definitsiooni kohaselt (vrd. lause 1.2) saab valida sellise T1 ∈ , et s (T1) > I (f) – ε/2 Analoogiliselt saame seose I (f) = I∗ (f) = inf {S (T) | T ∈ } põhjal infiimumi definitsiooni silmas pidades (vrd. lause 1.3) valida T 2 ∈ omadusega S (T2) < I (f) + ε/2 Moodustame uue alajaotuse T0 nii, et ta sisaldab mõlema alajaotuse T1 ja T2 jaotuspunktid, seega on T0 peenem nii jaotusest T1 kui ka jaotusest T2. Seetõttu lause 11.1 kohaselt
rahuldab järgmist pidevuse aksioomi : (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊆ F leidub ülemine raja. Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkesta- tud alamhulgal. Lause 1.4 Täielikus järjestatud korpuses F leidub igal alt tõkestatud mittetühjal hulgal alu- mine raja. Tõestus. Iseseisvalt!z Järgmise lausega esitame edaspidiseks vajalikud arvutuseeskirjad supreemumi ning infii- mumi jaoks. Lause 1.5 Olgu X ja Y täieliku järjestatud korpuse F mittetühjad alamhulgad. (a) Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y := {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X + Y ) = sup X + sup Y. (1.7) ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 11 (b) Kui X ja Y on alt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y alt tõkestatud ja
annaabi.ee 
