tekkis eeldusest, et A ei oma l˜oplikku osakatet. J¨arelikult omab ruumi X lahtine kate A l˜oplikku osakatet ja ruum X on kompaktne. Implikatsioon 20 =⇒ 10 on n¨aidatud. Kuna teist loenduvuse aksioomi rahuldav topoloogiline ruum rahuldab ka esimest loenduvuse aksioomi, siis ekviva- lents 20 ⇐⇒ 30 j¨areldub lemmast 7.2. 7.3 Kompaktsus meetrilistes ruumides Laialt levinud topoloogilise ruumi erijuhuks on meetriline ruum. Meetrilised ruumid rahuldavad esimest loenduvuse ak- sioomi, sest iga punkti x u ¨mbruste loenduvaks baasiks on lahtiste kerade B(x; r) hulk, kus r muutub u ¨le ratsionaalarvu- de hulga. J¨argnevalt kirjeldatakse kompaktsed hulgad meetri- lises ruumis X meetrikaga d. Saadud tulemused kehtivad eri- juhuna ka ruumide R ja Rn jaoks. Lemma 7.4 Kui meetrilise ruumi X elementide jada {xn }n∈N koondub, siis iga > 0 korral leidub selline n0 ∈ N, et n, m ≥ n0 =⇒ d(xn , xm ) < .
See fakt on vastuolus punktide xn valikuga, mille kohaselt |f (xnk )| > nk > k iga k ∈ N korral. Saadud vastuolu põhjal on meie vastuväiteline oletus on väär. Teoreem on tõestatud. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 65 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest Sellest, et funktsioon f on oma määramispiirkonnas D tõkestatud, tuleneb pidevuse ak- sioomi kohaselt tema väärtuste hulga ülemise ja alumise raja olemasolu, s.t. eksisteerivad sup {f (x) | x ∈ D} ja inf {f (x) | x ∈ D}. Kuid üldjuhul ei tähenda see veel suurima ja vä- hima väärtuse olemasolu. Näiteks funktsiooni x f : [0, 1) → R, x 7→ 1+x väärtused on ülalt tõkestatud arvuga 21 , kusjuures sup 1+x
annaabi.ee 
