J = y y y z = cos sin 0= = - sin 2 cos 2 = - cos sin z z z z 0 0 1 J=-= f ( x; y; z )dxdydz = f ( cos ; sin ; z ) dddz V Kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (joon) P(; ; r); sin=OP/r (OPP) OP=rsin; cos=x/OP x=OPcos=rcos sin sin =y/OP ( y=OPsin x = r cos sin =rsin sin ); Q cos =z/r ( z=rcos). y = r sin sin z = r cos x x x r - r sin sin r cos cos cos sin
Arvutuseeskirja (7.26) j¨argi x y z -r sin sin r cos sin 0 J = x y z = r cos cos r sin cos -r sin xr yr zr cos sin sin sin cos Determinandi arendus J = -r2 sin2 sin cos2 -r2 cos2 sin3 -r2 sin2 sin3 -r2 cos2 sin cos2 . Liites omavahel 1. ja 4. ning 2. ja 3. liikme, saame J = -r2 sin cos2 (sin2 + cos2 ) - r2 sin3 (cos2 + sin2 ) = -r2 sin (cos2 + sin2 ) = -r2 sin Sf¨aa¨rkoordinaatides on nurk, mida m~o~odetakse z-telje suhtes, seega 0 . Siis sin 0 ja jakobiaani absoluutv¨a¨artus |J| = r2 sin . T¨ahistagu V piirkonnale V vastavat piirkonda sf¨a¨arkoordinaatides. Muu- tuja vahetuse valemist (7.27) saame kolmekordse integraali teisendamise va- lemi sf¨a¨arkoordinaatidesse f (x, y, z)dxdydz = f (r cos sin , r sin sin , r cos )r2 sin dddr. V V
annaabi.ee 
