Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi
X + = (xij + oij ) = (xij + 0) = (xij ) = X = X + = X ja + X = (oij + xij ) = (0 + xij ) = (xij ) = X = + X = X. 3 Iga X = (xij ) korral hulgast M at(m, n) valemi (1.5) kohaselt tema vastandmaatriksiks on -X = (-xij ). Seega X + (-X) = (xij + (-xij )) = (oij ) = , (-X) + X = (-xij + xij ) = (oij ) = . 4 Iga X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n), t¨anu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij ) = (yij + xij ) = Y + X = X + Y = Y + X. Sellega omadused 1 - 4 on t~oestatud. Kasutades vastandmaatriksi m~oistet, saab maatriksite liitmise abil de- fineerida maatriksite lahutamise. Definitsioon 1.13. Maatriksite X, Y M at(m, n) vaheks, t¨ ahistame X - Y abil, nimetatakse maatriksit X - Y := X + (-Y ). 12
X + θ = (xij + oij ) = (xij + 0) = (xij ) = X =⇒ X + θ = X ja θ + X = (oij + xij ) = (0 + xij ) = (xij ) = X =⇒ θ + X = X. ♠ 3◦ Iga X = (xij ) korral hulgast M at(m, n) valemi (1.5) kohaselt tema vastandmaatriksiks on −X = (−xij ). Seega X + (−X) = (xij + (−xij )) = (oij ) = θ, (−X) + X = (−xij + xij ) = (oij ) = θ. ♠ 4◦ Iga X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n), t¨anu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij ) = (yij + xij ) = Y + X =⇒ X + Y = Y + X. ♠ Sellega omadused 1◦ − 4◦ on t˜oestatud. Kasutades vastandmaatriksi m˜oistet, saab maatriksite liitmise abil de- fineerida maatriksite lahutamise. Definitsioon 1.13. Maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) vaheks, t¨ ahistame X − Y abil, nimetatakse maatriksit X − Y := X + (−Y ).
annaabi.ee 
