Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutuja funktsioonist kõneleda kui skalaarväljast. Kolme muutuja funktsiooni u=(x,y,z) seab igale ruumi punktile M(x,y,z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st. piirkonnas V tekitab kolme muutuja funktsioon skalaarvälja. Skalaarvälja z=f(x,y) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Skalaarvälja u=f(x,y,z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas ja teisel juhul ruumi punktihulgas vektorväli, mida nim. gradientide väljaks. Teoreem 13.1. Funktsiooni z=f(x,y) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vekroti s suunale. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et
D f(x; y)0 V = f ( x; y ) dxdy (joon) V = f ( x; y )dxdy - g ( x; y ) dxdy * D D D V = [ f ( x; y ) - g ( x; y )]dxdy Eeldusel, et: (x; y)D ja (x; y)g(x; y) D Kolmekordse integraali mõiste ja arvutamine =(x; y; z) määratud ja pidev ruumilises punktihulgas V [V: v1; v2; v3;...; vn] Eeldusel et Pkvk (k=1,2,...,n) ja Pk(k; k; n k) ning (Pk)vk f ( P ) v k =1 k k [ =(x; y; z) integraalsumma üle pk V] Osapiirk diameetriks nim osapk punktide vahelist suurimat kaugust = max diamv k = f ( x; y; z ) dxdydz kusjuures 1 k n. Def: Kui
z z grad z = , (6.27) x y Definitsioon 2. Skalaarv¨alja w = f (x, y, z) gradientvektoriks ehk gra- diendiks nimetatakse vektorit w w w grad w = , , (6.28) x y z Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas ja teisel juhul ruumi punktihulgas vektorv¨ali, mida nimetatakse gradientide v¨aljaks. - Arvestdes sellega, et s = (cos , cos ), saab suunatuletise arvutamise - valemi (6.25) kirjutada gradiendi ja vektori s skalaarkorrutisena z - -
annaabi.ee 
