( n +1)! kus c (a, x) või c (x, a). 4. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmine Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmiseks sõnastame järgnevad teoreemid Teoreem 16. Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a,b) ja f (x) > 0 ( f (x) < 0 ) iga x(a,b) korral, siis funktsioon f kasvab (kahaneb) selles vahemikus. Teoreem 17. Vahemikus(a,b) diferentseeruv funktsioon kasvab (kahaneb) selles vahemikus parajajasti siis, kui 1. f (x) 0 ( f (x) 0) iga x(a,b) korral, 2. punktid x(a,b), kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikku. Näide. Olgu f(x)= x 3 . Leiame f (x) = 3 x 2 . Siis f (x) > 0, kui x 0 ja f (x) = 0 vaid punktis x = 0. Seega teoreemi 17 põhjal antud funktsioon kasvab kogu oma määramispiirkonnas (,). 5. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Definitsioon 10. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne maksimum (lokaalne miinimum), kui leidub selle punkti ümbrus U(a), et
( x1 , x 2 ) nii et f ( x 2 ) - f ( x1 ) = f ( )( x 2 - x1 ). (1) Kuna eeldasime, et f (x ) > 0 iga x (a, b) korral, siis ka f ( ) >0 ja kuna eeldasime, et x1 < x 2 , siis seosest (1) saame, et f ( x 2 ) - f ( x1 ) >0, seega funktsioon f kasvab vahemikus (a,b). Teoreem 2. Vahemikus (a,b) diferentseeruv funktsioon kasvab (kahaneb) selles vahemikus parajajasti siis, kui 1. f (x ) 0 ( f (x ) 0) iga x(a,b) korral, 2. punktid x(a,b), kus f (x ) = 0 ei moodusta vahemikku. 19. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ( tarvilikud tingimused; piisavad tingimused 2 ). Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused. 1) Olgu funktsioon f diferentseeruv punkti a mingis ümbruses ja olgu punktis a lokaalne ekstreemum, siis f (a) = 0 (a on funktsiooni f statsionaarne punkt). 2) Lokaalne ekstreemum võib realiseeruda ka punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv
annaabi.ee 
