5.3 L~ oplikum~ o~ otmelised ruumid Vektorruumi nimetatakse l~ oplikum~o~otmeliseks, kui tal leidub l~ oplik baas, s.t baas, mis sisaldab l~ opliku arvu vektoreid. Vektorruumi nimetatakse l~opmatum~ o~otmeliseks, kui ta ei ole l~ oplikum~ o~ otmeli- ne. Edaspidi eeldame vaikimisi vektorruumide l~ oplikum~ o~ otmeli- sust. 16 V. Vektorruumid 5.4 N¨ aide T~oestame, et VS {ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)| i = 1, . . . , n} i-1 on aritmeetilise vektorruumi Kn baas. T~oestus. N¨aitest 4.4 teame, et VS {ei | i = 1, . . . , n} on lineaarselt s~ oltumatu
2.9 Olgu X eukleidiline ruum ja A ⊂ X, A = ∅. Vaatleme ruumi X alamhulka F = { x ∈ X | < x, y >= 0 iga y ∈ A korral }. N¨aidata, et ¨ 2.5 Ulesandeid 25 1) F on ruumi X kui vektorruumi alamruum; 2) F on kinnine alamhulk ruumis X. 2.10 Olgu Y normeeritud ruumi X kui vektorruumi u ¨hem˜o˜ot- meline alamruum. N¨aidata, et Y on kinnine alamhulk ruumis X. 2.11 N¨aidata, et normeeritud ruumi X iga l˜oplikum˜o˜otmeli- ne alamruum on kinnine hulk ruumis X. 2.12 N¨aidata, et kui topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis tema igal punktil x leidub selline ¨mbruste baas {U1 , U2 , U3 , . . . }, et U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ . . . . u 3 SISEMUS JA SULUND 3.1 Hulga sisemus Olgu X mis tahes topoloogiline ruum. Definitsioon 3.1 Punkti x ∈ X nimetatakse hulga A ⊂ ¨mbrus U ∈ X sisepunktiks, kui leidub punkti x selline u U(x), et U ⊂ A.
annaabi.ee 
