Vaatleme tasandilist piirkonda D, mis on kaetud mingi ainega nii, et piirkonna iga pindalaühiku kohta tuleb teatud hulk seda ainet. Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S. Olgu S mass mS ning pindala S. Suhet S= mS/S nimetatakse aine keskmiseks pindtiheduseks osapiirkonnas S. Võtame Si peal konkreetse punkti P. Vaatleme piirprotsessi, kus S kahaneb punktiks P. ( P ) = lim S - aine pindtihedus S 0 punktis P Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks Si, kus i=1,2,...,n. Olgu Si pindala Si ja PiSi (P)(Pi), kui PSi mSi=(Pi)Si Piirkonna D ligikaudne mass n mn = ( Pi )Si i =1 Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni (P) kus Vi on hulga V tükeldamisel n osahulgaks V1, V2,..., Vn saadud f ( x, y, z )dxdydz =
y R sin t pöörlemisel ümber x-telje. S 2 R sin t R 2 sin 2 t R 2 cos 2 t dt 2 R2 sin tdt 0 0 2 R 2 cos t 0 2 R 2 cos cos 0 4 R2. 1.3 Kahekordne integraal Vaatleme xy-tasapinnal joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z f x, y . Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks, mida ja mille pindalad tähistame S 1 , S 2 , , S n . Võtame igas piirkonnas punkti P i S i . Siis summat n Vn i 1 f P i S i nimetame funktsiooni z f x, y integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat Definitsioon. Kui eksisteerib piirväärus lim max S i 0 V n ,
J¨ areldus. Joonintegraal (7.19) on integreerimisteest s~oltumatu parajasti siis, kui eksisteerib kahe muutuja funktsioon u(x, y), mille t¨aisdiferentsiaaliks on avaldis X(x, y)dx + Y (x, y)dy. 19 7 Kordsed integraalid 7.1 Kahekordse integraali mo ~iste Olgu t~okestatud piirkonnas D m¨a¨aratud kahe muutuja funktsiooni f (x, y). Jagame piirkonna D suvalisel viisil n osapiirkonnaks s1 , s2 , . . . , sk , . . . , sn , kus sk , 1 k n, t¨ahendab kontekstist s~oltuvalt k-ndat osapiirkonda v~oi selle pindala. Valime igas osapiirkonnas suvalise punkti Pk (k , k ) sk ja moodusta- me korrutised f (Pk )sk . Kui eeldada, et f (Pk ) 0, siis korrutis t¨ahendab niisuguse p¨ustprisma ruumala, mille p~ohjaks on sk ja k~orgus f (Pk ). Summat n f (Pk )sk
annaabi.ee 
