funktsioonid u=(x,y), v=(x,y). Sel juhul on z argumentide x ja y liitfunktsioon, st. z=F[(x,y),(x,y)]=F(x,y). Eeldame, et funktsioonidel u ja v on punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses pidevad osatuletised ning funktsioonil z vastavas punktis (u,v) ja selle mingis ümbruses pidevad osatuletised Anname argumendile x muudu x, jättes seejuures y väärtuse muutumatuks. Võrranndite u=(x,y), v=(x,y) kohaselt saavad suurused u ja v siis osamuudud xu ja xv. Need on aga funktsiooni z=F(u,v) argumentide muutudeks. Neile vastab funktsiooni täismuut Jagades selle kõik liikmed x-ga, saame: Leiame mõlemalt poolt piirväärtuse piirprotsessis x0. Vasakult saame liitfunktsiooni z osatuletise x järgi sest z täismuut tekkis ainult x muutumise tagajärjel, kusjuures y jäi konstantseks. Funktsioonide u ja v pidevuse tõttu xu0 ja xv0. Kuid ka ja lähenevad nullile, seega:
x0 ( x ) on LKS) x z z = + ( x ) x x y z z = + ( y ) y y kus ( x ) ja ( y ) on LKS kui x 0 ja y 0 . Siit z x z = x + ( x ) x x z yz = y + ( y ) y y Vaatleme funktsiooni täismuutu z = f ( x + x, y + y ) - f ( x , y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) + f ( x, y + y ) - f ( x, y ) = = x z ( x , y + y ) + y z ( x, y ) Asendades osamuudud osatuletiste kaudu, saame z z z = x + y + ( x ) x + ( y ) y x ( x , y + y ) y ( x , y ) z Eeldame, et osatuletis on pidev, siis x z z lim = y 0 x ( x , y +y ) x ( x ,y ) Siit z ( x, y + y ) = z ( x, y ) + ( y ) x x ( y ) 0 y 0 Lõplikult z z
z 1 y -1 -0, 5 0, 5 1 x Joonis 6.8. H¨ uperboolne paraboloid ehk sadulpind T¨aismuut z = (x + x)(y + y) - xy = xy + yx + xy = 2 · 0, 1 + 3 · 0, 2 + 0, 2 · 0, 1 = 0, 82. Samasugusel viisil defineeritakse kolme muutuja funktsiooni w = f (x, y, z) osamuudud s~oltumatute muutujate x, y ja z j¨argi ning t¨aismuut. x w = f (x + x, y, z) - f (x, y, z), y w = f (x, y + y, z) - f (x, y, z), z w = f (x, y, z + z) - f (x, y, z), w = f (x + x, y + y, z + z) - f (x, y, z). 6.4 Kahe muutuja funktsiooni piirv¨ a¨ artus ja pidevus
annaabi.ee 
