n =0 n koondub tingimisi. Teoreem: Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. (fakt) Üldistatud Cauchy tunnus Tähistame: lim u n = lim sup u k - kõikvõimalike osajadade maksimaalse osajada summa piirväärtus n n k n Teoreem: Olgu u n =0 n positiivne rida ja olgu C = lim n u n . Kui n a) C < 1 , siis rida (u n ) koondub; b) C > 1 , siis rida (u n ) hajub, kusjuures lim u n 0 (tarvilik tingimus pole täidetud)
Niisiis on (xn ) tõkestatud monotoonne jada, monotoonsuseprint- siibi (vt. teoreem 2.11) kohaselt eksisteerib piirväärtus lim xn =: e, seejuures 2 < e 6 3 n→∞ (selgitada!)z. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 43 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus 2.3.1 Jada osapiirväärtused Definitsioon. Arvjada (xn )∞ n=1 osajadade piirväärtusi nimetatakse selle jada osapiirväär- tusteks (subsequential limit, частичный предел). Tõestame nüüd käesoleva alapunkti põhitulemuse. Lause 2.20 Jada (xn ) koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks osa- piirväärtus. Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et lim xn = a, siis (xn ) on tõkestatud ja ka iga osajada n→∞ (xnk ) koondub piirväärtuseks a (selgitage
annaabi.ee 
