Siis teoreemi 5.5 v¨aidete 1 ja 2 p~ohjal on joon y = f (x) n~ogus punktist x1 vasakul ja kumer punktist x1 paremal. Seega x1 korral n~ogusus asendub kumerusega, mis t¨ahendab et P = (x1 , f (x1 )) on k¨a¨anupunkt. Analoogiliselt arutleme juhul, kui f (x) on v¨aiksem nullist punktist x1 -st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f (x) kumer punktist x1 vasakul ja n~ogus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1 , f (x1 )) asendub kumerus n~ogususega, seega on P = (x1 , f (x1 )) k¨a¨ anupunkt. Kokkuv~ottes saame formuleerida j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.7 (K¨ a¨ anupunkti piisav tingimus). Olgu x1 funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Kui l¨ abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨ arki, siis on P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt. N¨ aide
Siis teoreemi 4.5 v¨aidete 1 ja 2 p~ohjal on joon y = f (x) n~ogus punktist x1 vasakul ja kumer punktist x1 paremal. Seega x1 korral n~ogusus asendub kumerusega, mis t¨ahendab et P = (x1 , f (x1 )) on k¨a¨anupunkt. Analoogiliselt arutleme juhul, kui f (x) on v¨aiksem nullist punktist x1 -st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f (x) kumer punktist x1 vasakul ja n~ogus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1 , f (x1 )) asendub kumerus n~ogususega, seega on P = (x1 , f (x1 )) k¨a¨anupunkt. Kokkuv~ottes saame formuleerida j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.7 (K¨ a¨ anupunkti piisav tingimus). Olgu x1 funktsiooni f teist j¨ arku kriitiline punkt. Kui l¨ abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨ arki, siis on P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨ a¨anupunkt. N¨ aide. Leiame funktsiooni f (x) = 3x5 - 5x4 kumerus- ja n~ogususpiirkonnad
annaabi.ee 
