siooni f (x) (parempoolne, vasakpoolne) piirv¨a¨artus punktis x0 , mis v~oib olla ka + v~oi - v~ oi , parajasti siis, kui funktsiooni f (x) m¨a¨aramispiirkonnas iga (paremalt, vasakult) punktile x0 l¨ aheneva jada {xn } puhul, kus xn = x0 (n N), kehtib seos lim f (xn ) = a. n S~onastame esiteks m~oningad funktsiooni piirv¨a¨artuse omadused. Nende omaduste t~oestused on sarnased jada piirv¨ a¨artuse vastavate omaduste t~oestustega. Lause 3. Konstantse funktsiooni piirv¨a¨artuseks on see konstant, st f (x) = c lim f (x) = c. xx0 Lause 4. Kui eksisiteerib funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 , siis leidub punkti ¨mbrus U (x0 ), et funktsioon f (x) on t~okestatud hulgal U (x0 ){x0 }, st x0 selline u lim f (x) U (x0 ) : f (x) = O(1) (x U (x0 ){x0 }) . xx0 T~
37 Kui topoloogilise ruumi X sidusate alamhulka- de Ai , i ∈ I, u ¨hisosa on mittet¨ ¨hend ∪i∈I Ai uhi, siis nende u on samuti ruumi X sidus alamhulk. T˜oestus. Olgu Ai , i ∈ I, sidusad hulgad ruumis X ja ∩i∈I Ai = ∅. (8.6) T¨ahistame A = ∪i∈I Ai . Hulga A sidususe n¨aitamiseks esitame ta analoogiliselt eelmis- te teoreemide t˜oestustega kahe lahtise ja mittel˜oikuva alam- hulga u ¨hendina: A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) = (B ∪ C) ∩ A, (8.7) (B ∩ A) ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A = ∅, (8.8) kus B ja C on lahtised hulgad ruumis X. Siis iga i ∈ I korral Ai ⊂ A ⊂ B ∪ C, B ∩ Ai ⊂ B ∩ A, C ∩ Ai ⊂ C ∩ A, Ai = Ai ∩ (B ∪ C) = (B ∩ Ai ) ∪ (C ∩ Ai ) (8.9) ja seose (8.8) t˜ottu
annaabi.ee 
