normaalvektor n = ( A; B; C ) : Tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 Tasandi võrrand telglõikudes (kus a ,b ja c on x y z + + =1 lõikekohad vastavate telgedega) a b c Kahe tasandi vastastikused asendid On antud 2 tasandit A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ja A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Nende normaalvektorid on vastavalt n 1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ja n 2 = ( A2 ; B2 ; C 2 ) . 1. Tasandid on risti, kui nende normaalvektorite skalaarkorrutis on 0: n 1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 . 2. Tasandid on paralleelsed, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis ei ole eelmistega A1 B1 C1 D1 = = võrdne: 2 A B 2 C 2 D2 . 3
Või teisiti – kuna AB ja AC on paralleelsed antud tasandiga, siis nende vektorkorrutis on risti tasandiga ja sobib tasandi normaaliks ning eelmise punkti valem annab tasandi võrrandi. KAHE TASAPINNA VASTASTIKUNE ASEND Nurgaks kahe tasandi vahel nimetatakse nurka nende tasandite normaalide vahel. Olgu antud kaks tasandit oma üldvõrranditega A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0. Nende normaalvektorid: n1 A1 , B1 , C1 , n2 A2 , B2 , C 2 . Kaks tasandit on paralleelsed ainult siis, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed. A1 B1 C1 Koordinaatides: . A2 B2 C2 A1 B1 C1 D1 Kui lisaks on võrdelised ka vabaliikmed, siis need tasandid ühtivad: .
Kaks tasandit: Kaks tasandit on kas lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis nende vaheline kaugus on null või on paralleelsed. Paralleelsete tasandite vahelise kauguse võrdub ühel tasandil asuva punkti kaugusega teisest tasandist. Näide 2: Leida tasandite 3x - 6y- 2z + 1 = 0 ja 6x - 12y - 4z + 3 = 0 vaheline kaugus. Lahendus. Uurime, kas tasandid on parallelsed või lõikuvad. Kui tasandid on parallesed, siis nende normaalvektorid peavad olema parallelsed. Esimese tasandi normaalvektor on (3,-6,- 2) ja teise tasandi normaalvektor on (6,-12,-4). Vektorid on parallelsed, kuna 23, 6, 2 6, 12, 4. Võtame mingi punkti esimesest tasandist, nt. kui x=y=0, siis 3 · 0 6 · 0 2 1 0, kust 1/2. Nüüd leiame saadud punkti (0;0;1/2) ja teise tasandi vahelise kauguse: |6 · 0 12 · 0 4 · 1/2 3 | 1
cos((l1 , l2 )) = , (14.17) |s1 | · |s2 | kus s1 on sirge l1 ja s2 on sirge l2 sihivektor. 134 14.9. 14.8 Nurk kahe tasandi vahel Olgu ruumis E3 antud tasandid 1 ja 2 ning nende normaalvektorid n1 ja n2 . Võib leida nurgad vektorite n1 ja n2 vahel, kuid ka n1 ja vastandvek- tori -n2 vahel. Defineerime tasandite vahelise nurga analoogiliselt sirgete juhule. Definitsioon 14.15 Tasandite 1 ja 2 vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite nor- maalvektorite n1 ja n2 ning n1 ja -n2 vahelistest nurkadest vähimat ehk (1 , 2 ) = min{(n1 , n2 ), (n1 , -n2 )} [0, ].
annaabi.ee 
